Chi-Quadrat- und t-Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Di 21.10.2014 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | Die Herleitung der Chi-Quadrat-Verteilung als Verteilung der Summe n stochastisch unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen habe ich hier zusammengefasst.
Sei $X [mm] \sim [/mm] N(0, 1)$ und $Y = [mm] X^2$.
[/mm]
P(Y [mm] \leqslant [/mm] y) = [mm] P(X^2 \leqslant [/mm] y) = 0, falls y [mm] \leqslant 0\\ \\
[/mm]
P(Y [mm] \leqslant [/mm] y) = [mm] P(X^2 \leqslant [/mm] y) = [mm] P(-\sqrt{y} \leqslant [/mm] X [mm] \leqslant \sqrt{y})\\
[/mm]
= P(X [mm] \leqslant \sqrt{y}) [/mm] - P(X [mm] \leqslant -\sqrt{y})\\
[/mm]
= [mm] \Phi(\sqrt{y}) [/mm] - [mm] \Phi(-\sqrt{y}), [/mm] falls y > 0
Mit $1 - [mm] \Phi(x) [/mm] = [mm] \Phi(-x)$ [/mm] folgt:
P(Y [mm] \leqslant [/mm] y) = [mm] \Phi(\sqrt{y}) [/mm] - [mm] \big(1 [/mm] - [mm] \Phi(\sqrt{y})\big)\\
[/mm]
= [mm] \Phi(\sqrt{y}) [/mm] - 1 + [mm] \Phi(\sqrt{y})\\
[/mm]
= [mm] 2\cdot \Phi(\sqrt{y}) [/mm] - 1, [mm] \text{ falls } [/mm] y > 0
Die Dichtfunktion ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion:
[mm] \frac{\partial}{\partial y}\big(2\cdot \Phi(\sqrt{y}) [/mm] - 1 [mm] \big) [/mm] = [mm] 2\cdot \varphi(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\\
[/mm]
= [mm] \varphi(\sqrt{y})\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}
[/mm]
Mit [mm] $\varphi(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\big(-\frac{x^2}{2}\big)$ [/mm] für $y > 0$ gilt:
[mm] \varphi(\sqrt{y})\cdot\frac{1}{\sqrt{y}} [/mm] &= [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\bigg(-\frac{(\sqrt{y})^2}{2}\bigg)\cdot y^{-\frac{1}{2}}\\
[/mm]
&= [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\bigg(-\frac{y}{2}\bigg)\cdot y^{-\frac{1}{2}}, \text{ falls } [/mm] y > 0
Mit [mm] $\Gamma\big(\frac{1}{2}\big) [/mm] = [mm] \sqrt{\pi}$ [/mm] erhält man:
[mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{y}{2}\Big)\cdot y^{-\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\Gamma\big(\frac{1}{2}\big)}\cdot y^{\frac{1}{2}-1}\cdot\exp\Big(-\frac{y}{2}\Big) [/mm] = [mm] \frac{\big(\frac{1}{2}\big)^\frac{1}{2}}{\Gamma\big(\frac{1}{2}\big)}\cdot y^{\frac{1}{2}-1}\cdot\exp\Big(-\frac{1}{2}y\Big)
[/mm]
Das heißt Y [mm] \sim \chi^2(1). [/mm] Die [mm] $\chi^2$-Verteilung [/mm] ist als eine spezielle [mm] $\Gamma$-Verteilung [/mm] faltungsstabil und somit gilt für [mm] $X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} [/mm] N(0, 1): [mm] $$\sum_{i=1}^{n}{Y_i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}{X^2_i} \sim \chi^2(n)$$ [/mm] |
Könnte einer von euch darüber schauen, ob alles nachvollziehbar ist und mir einen Tipp geben, wie ich auf t-Verteilung (Student-Verteilung) von Standardnormalverteilung ausgehend kommen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Di 21.10.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin.
>
> Könnte einer von euch darüber schauen, ob alles
> nachvollziehbar ist
Kann keinen Fehler entdecken. Du koenntest noch [mm] $\Gamma(1/2)$ [/mm] durch [mm] $\sqrt{\pi}$ [/mm] ersetzen.
und mir einen Tipp geben, wie ich auf
> t-Verteilung (Student-Verteilung) von
> Standardnormalverteilung ausgehend kommen könnte?
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 249-250.
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