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| Aufgabe | Löse die folgende Aufgabe von Fibonacci mithilfe des chinesischen Restsatzes: Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl, die bei Division durch $2, 3, 4, 5$ und $6$ den Rest $1$ liefert, aber durch $7$ teilbar ist.
Die Aufgabe entspricht für die Berechnung mittels des chinesischen Restsatzes folgender mathematischer Formulierung: [mm] \\ [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
ich versuche mich gerade an obiger Aufgabe. Im Prinzip ist diese Aufgabe mathematisch formuliert ja in etwas diese:
x [mm] \equiv 1\text{ mod }2 \\
[/mm]
x [mm] \equiv 1\text{ mod }3 \\
[/mm]
x [mm] \equiv 1\text{ mod }4 \\
[/mm]
x [mm] \equiv 1\text{ mod }5 \\
[/mm]
x [mm] \equiv 1\text{ mod }6 \\
[/mm]
x [mm] \equiv 0\text{ mod }7 [/mm]
In meinem Skript steht der Vermerk, dass $2, 3, 4, 5$ und $6$ tellerfremd sein müssen. Da dies aber nicht der Fall ist suche ich zunächst das $kgv(2, 3, 4, 5, 6)$, welches 60 ist.
Jetzt wird es interessant, ich habe nun ja nur noch:
x [mm] \equiv 1\text{ mod }60 \\
[/mm]
x [mm] \equiv 0\text{ mod }7
[/mm]
und müsste den chinesischen Restsatz anwenden. Und genau hier stockt es leider ein bisschen, vermutlich bin ich mal wieder etwas blind, aber wenn ich das System wie es mir erklärt wurde anwende, bilde ich doch die verschiedenen Mengen [mm] $M_1, M_2, M_3, \ldots$. [/mm] Aber mit nur zwei Kongruenzgleichungen steh ich irgendwie voll auf dem Schlauch. Ich versuche es jetzt noch einmal und hoffe auf euer Feedback, also (nach Wikipedia: Chinesischer Restsatz):
x [mm] \equiv 1\text{ mod }60 \\
[/mm]
x [mm] \equiv 0\text{ mod }7
[/mm]
Es heißt also: $M = 60 [mm] \cdot [/mm] 7 = 420, [mm] M_1 [/mm] = 60$ und [mm] $M_2 [/mm] = 7$.
Mit dem EEA kann ich also berechnen:
[mm] $s\cdot [/mm] 60 + [mm] t\cdot [/mm] 7 = 1$ und
[mm] $s\cdot [/mm] 7 + [mm] t\cdot [/mm] 60 = 1$
Aus 1) folgt [mm] $e_1 [/mm] = -43$ und aus 2) folgt [mm] $e_2 [/mm] = -5$.
Okay, also ist ein Lösung dann $ 1 [mm] \cdot [/mm] -43 + 0 [mm] \cdot [/mm] -5 = -43$ und spätestens jetzt kommt mir das alles so "mäh" vor. Ich geh das doch falsch an oder?
Mir ist z.B. völlig klar, dass das $kgV(60, 7) = 301$ ist, nur habe ich das einfach auf dem Papier und im Kopf gerechnet. Also die Menge die 1) und 2) bildet aufgeschrieben und bei erstem gleichem Element aufgehört, das ergibt dann auch:
[mm] $5\cdot [/mm] 60 - 43 [mm] \cdot [/mm] 7 = 1$
Tut mir echt voll leid, dass ich eine vermutlich so banale Aufgabe für euch habe :(
Vielen Dank für Eure Tipps!
Liebe Grüße,
Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Chrizzldi,
> Löse die folgende Aufgabe von Fibonacci mithilfe des
> chinesischen Restsatzes: Gesucht ist die kleinste
> natürliche Zahl, die bei Division durch [mm]2, 3, 4, 5[/mm] und [mm]6[/mm]
> den Rest [mm]1[/mm] liefert, aber durch [mm]7[/mm] teilbar ist.
> Die Aufgabe entspricht für die Berechnung mittels des
> chinesischen Restsatzes folgender mathematischer
> Formulierung: [mm]\\[/mm]
> Hallo ihr Lieben!
>
> ich versuche mich gerade an obiger Aufgabe. Im Prinzip ist
> diese Aufgabe mathematisch formuliert ja in etwas diese:
>
> x [mm]\equiv 1\text{ mod }2 \\[/mm]
> x [mm]\equiv 1\text{ mod }3 \\[/mm]
> x
> [mm]\equiv 1\text{ mod }4 \\[/mm]
> x [mm]\equiv 1\text{ mod }5 \\[/mm]
> x
> [mm]\equiv 1\text{ mod }6 \\[/mm]
> x [mm]\equiv 0\text{ mod }7[/mm]
>
> In meinem Skript steht der Vermerk, dass [mm]2, 3, 4, 5[/mm] und [mm]6[/mm]
> tellerfremd sein müssen. Da dies aber nicht der Fall ist
> suche ich zunächst das [mm]kgv(2, 3, 4, 5, 6)[/mm], welches 60
> ist.
>
> Jetzt wird es interessant, ich habe nun ja nur noch:
>
> x [mm]\equiv 1\text{ mod }60 \\[/mm]
> x [mm]\equiv 0\text{ mod }7[/mm]
>
> und müsste den chinesischen Restsatz anwenden. Und genau
> hier stockt es leider ein bisschen, vermutlich bin ich mal
> wieder etwas blind, aber wenn ich das System wie es mir
> erklärt wurde anwende, bilde ich doch die verschiedenen
> Mengen [mm]M_1, M_2, M_3, \ldots[/mm]. Aber mit nur zwei
> Kongruenzgleichungen steh ich irgendwie voll auf dem
> Schlauch. Ich versuche es jetzt noch einmal und hoffe auf
> euer Feedback, also (nach Wikipedia: Chinesischer
> Restsatz):
>
> x [mm]\equiv 1\text{ mod }60 \\[/mm]
> x [mm]\equiv 0\text{ mod }7[/mm]
>
> Es heißt also: [mm]M = 60 \cdot 7 = 420, M_1 = 60[/mm] und [mm]M_2 = 7[/mm].
>
> Mit dem EEA kann ich also berechnen:
> [mm]s\cdot 60 + t\cdot 7 = 1[/mm] und
> [mm]s\cdot 7 + t\cdot 60 = 1[/mm]
> Aus 1) folgt [mm]e_1 = -43[/mm] und aus
> 2) folgt [mm]e_2 = -5[/mm].
>
Poste dazu die ausführlichen Rechenschritte des EEA.
Die Zahlen stimmen nämlich nicht.
> Okay, also ist ein Lösung dann [mm]1 \cdot -43 + 0 \cdot -5 = -43[/mm]
> und spätestens jetzt kommt mir das alles so "mäh" vor.
> Ich geh das doch falsch an oder?
>
> Mir ist z.B. völlig klar, dass das [mm]kgV(60, 7) = 301[/mm] ist,
> nur habe ich das einfach auf dem Papier und im Kopf
> gerechnet. Also die Menge die 1) und 2) bildet
> aufgeschrieben und bei erstem gleichem Element aufgehört,
> das ergibt dann auch:
> [mm]5\cdot 60 - 43 \cdot 7 = 1[/mm]
>
> Tut mir echt voll leid, dass ich eine vermutlich so banale
> Aufgabe für euch habe :(
>
> Vielen Dank für Eure Tipps!
>
> Liebe Grüße,
> Chris
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke - du hast natürlich recht!
$s= 2$, und $t = -17$.
Aber wie hilft mir das weiter?
Danke für deine Hilfe!
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Hallo Chrizzldi,
Poste Fragen auch als Fragen, nicht als Mitteilungen.
> Hallo MathePower,
>
> danke - du hast natürlich recht!
> [mm]s= 2[/mm], und [mm]t = -17[/mm].
>
> Aber wie hilft mir das weiter?
>
Nun, eine Lösung ist doch
[mm]x \equiv \blue{0}*2*60+\blue{1}*7*\left(-17\right) \ \operatorname{mod} \ 420[/mm]
> Danke für deine Hilfe!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Di 11.11.2014 | | Autor: | Chrizzldi |
Hallo MathePower,
danke für den Tipp, da hab ich mich vermutlich vertan, in meiner ersten Frage vor einigen Tag (übrigens auch toll beantwortet), hat es noch geklappt :)
Aber super, besten Dank dir!
Liebe Grüße,
Chris
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