Chinesischer Restsatz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Sei R=Z[i].
a) Zeige: Der chin. Restsatz liefert einen Isomorphismus [mm] \pi: [/mm] R/(15-5i) --> R/(3+4i) x R/(1-3i) .
b) Bestimme das Urbild von ( [mm] \overline{1+i}, \overline{2+i} [/mm] ) unter [mm] \pi. [/mm] |
zu a) Also ich muss den ggT von (3+4i) und (1-3i) bestimmen mit dem Eukl Algorithmus und zeigen, dass das Ergebnis eine Einheit ist.
Allerdings komme ich mit dem Algorithmus nicht klar: (3+4i)/(1-3i)=(-9+13i)/10 --> -9/10 kann am besten durch -1 angenähert werden
--> a=-b+r mit r=a+b=4+i
--> (1-3i)/(4+i)=(1-13i)/17 --> 1/17 kann am besten durch 0 angenähert werden, und da fangen die Probleme an...
(ich habe mich an den Algorithmus nach Wikipedia gehalten)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Do 13.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
Hat jmd. Ideen bzw. findet jemand den Fehler in obiger Rechnung?
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Also ich muss den ggT von (3+4i) und (1-3i) bestimmen mit dem Eukl Algorithmus und zeigen, dass das Ergebnis eine Einheit ist.
Allerdings komme ich mit dem Algorithmus nicht klar: (3+4i)/(1-3i)=(-9+13i)/10 --> -9/10 kann am besten durch -1 angenähert werden
Bis dahin stimmts. Jetzt weißt du:
(3+4i)=(-1+i)(1-3i)+r=4i+2+r
Also muss r=1.
Damit ist der Rest aber nicht 0, also teilerfremd.
deshalb ist der ggT (3+4i,1-3i) = 1. Das macht auch sind, denn sonst könntest du den chinesischen Restsatz nicht anwenden ;)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:30 Do 13.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
>>
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> Bis dahin stimmts. Jetzt weißt du:
> (3+4i)=(-1+i)(1-3i)+r=4i+2+r
Stehe gerade auf dem Schlauch, wie kommst du denn auf die (-1+i)?
Edit: Hat sich erledigt 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Do 13.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
Könnte mir bitte noch jmd sagen, wie ich bei b) vorgehen muss?
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Naja, was du brauchst ist eine Umformulierung in ein Kongruenzgleichungssystem, das du mit dem chinesischen Restsatz dann lösen kannst ,)
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Also ich hätte dann das KGS zu lösen:
x [mm] \equiv [/mm] (1+i) mod (3+4i)
x [mm] \equiv [/mm] (2+i) mod (1-3i)
--> gesucht ist x, so dass x-(1+i) Vielfaches von 3+4i und x-(2+i) Vielfaches von 1-3i ist.
Es gilt nach a) ggT(3+4i, 1-3i)=1= 1*(3+4i) + (1-i)(1-3i)
Weiter ist 4+5i= (2+i)*1*(3+4i)+(1+i)(1-i)(1-3i)
und L= 4+5i+(15-5i)
--> 19+(15-5i)
--> eindeutige Lsg [mm] \overline{19} \in [/mm] Z[i]/(15-5i)
Was sagt ihr dazu?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Trikolon |
Wäre nett, wenn jmd mal meine Lösung zu b) prüfen könnte...
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Ist meine erhaltene Lösung überhaupt in der entsprechenden Menge enthalten, bin mir da gerade nicht ganz sicher. Könnte man jmd drüber schauen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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