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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mi 27.07.2011 | | Autor: | maureulr |
| Aufgabe | cobb douglas Produktionsfunktion:
[mm] x=r1^{0,5}*r2^{0,5}
[/mm]
Faktorpreise betragen 3 und 5 für die Faktoren 1 und 2.
Berechnen Sie Minimalkostenkombination für x=5 sowie die Kostenfunktion? |
Da weiß ich nicht wie der Ansatz ist.
Hätte jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Do 28.07.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> cobb douglas Produktionsfunktion:
>
> [mm]x=r_1^{0,5}*r_2^{0,5}[/mm]
deine beiden (Produktions-)Faktoren sind [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm]. Das können z.B. Arbeit und Kapital sein.
> Faktorpreise betragen 3 und 5 für die Faktoren 1 und 2.
Für den Faktor [mm]r_1[/mm] beträgt der Preis [mm]p_1=3[/mm], für den Faktor [mm]r_2[/mm] [mm]p_2=5[/mm] Geldeinheiten pro Einheit (des Faktors [mm]r_i, i=1,2[/mm]).
> Berechnen Sie Minimalkostenkombination für x=5 sowie die
> Kostenfunktion?
Du willst also deine Kosten minimieren. Wie sieht [mm]C(r_1,r_2)=...[/mm] aus? Die Kosten C sollen minimiert werden unter der Nebenbedingung, dass [mm]x=5[/mm], also [mm]r_1^{0,5}*r_2^{0,5}=5[/mm].
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
[mm] 5=\wurzel{r1}*\wurzel{r2}
[/mm]
jeweils umformen und einsetzen, dann erhalte ich:
r1=5
[mm] r2=\bruch{25}{3}
[/mm]
[mm] C(r1,r2)=5^{0,5}*\bruch{25}{3}^{0,5}=6,45
[/mm]
Für x=5 ist doch definiert, es kann doch nicht mehr rausgkommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Do 28.07.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> [mm]5=\wurzel{r1}*\wurzel{r2}[/mm]
> jeweils umformen und einsetzen, dann erhalte ich:
>
> r1=5
> [mm]r2=\bruch{25}{3}[/mm]
mein TR sagt aber, dass die Gleichung [mm]5=\wurzel{r1}*\wurzel{r2}[/mm] mit den von dir angegebenen Werten nicht stimmt.
> [mm]C(r1,r2)=5^{0,5}*\bruch{25}{3}^{0,5}=6,45[/mm]
So, sieht die Kostenfunktion aber auch nicht aus.
Dein Faktor [mm]r_1[/mm] kostet pro Einheit 3 GE. Dass bedeutet doch [mm]r_1[/mm] Einheiten kosten [mm]3\cdot{r_1}[/mm] GE! Für Faktor [mm]r_2[/mm] also [mm]5\cdot{r_2}[/mm].
Insgesamt betragen die Kosten: [mm]C(r_1,r_2)=3\cdot{r_1}+5\cdot{r_2}[/mm]. Jetzt willst du die Kosten minimieren:
[mm]\min \ 3\cdot{r_1}+5\cdot{r_2}[/mm]
Das soll minimiert werden unter der Bedingung, dass $ [mm] r_1^{0,5}\cdot{}r_2^{0,5}=5 [/mm] $.
Und wie löst man so etwas? Tipp: Lagrange.
Gruß
barsch
P.S.: Um die Uhrzeit musst du meine Antwort immer mit einem kritischen Blick betrachten. Um die Uhrzeit kann sich schon mal ein Flüchtigkeitsfehler einschleichen. Aber die angegebene Vorgehensweise ist korrekt ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
Lagrange:
[mm] L(r1,r2,\lambda)=\wurzel{r1}*\wurzel{r2}-\lambda(3*r1+5*r2-5)
[/mm]
ist der Ansatz richtig?
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> siehe oben
>
> Lagrange:
>
> [mm]L(r1,r2,\lambda)=\wurzel{r1}*\wurzel{r2}-\lambda(3*r1+5*r2-5)[/mm]
>
> ist der Ansatz richtig?
Hallo,
nein.
Du willst doch die Kosten minimieren.
Die Kostenfunktion ist $ [mm] C(r_1,r_2)=3\cdot{r_1}+5\cdot{r_2} [/mm] $,
und die Nebenbedingung, welche Dir sagt, daß die Menge x=5 produziert werden soll, lautet [mm] r_1^{0.5}*r_2^{0.5}-5=0.
[/mm]
Merke: die Nebenbedingung ist immer das, was den Faktor [mm] \lambda [/mm] bekommt.
Gruß v. Angela
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> die Nebenbedingung, welche Dir sagt, daß die Menge x=5
> produziert werden soll, lautet [mm]r_1^{0.5}*r_2^{0.5}-5=0.[/mm]
>
> Merke: die Nebenbedingung ist immer das, was den Faktor
> [mm]\lambda[/mm] bekommt.
Hallo,
die vorliegende Nebenbedingung sollte man meiner
Meinung nach unbedingt umformen (vereinfachen),
bevor man Lagrange darauf loslässt !
Und nebenbei: man kann natürlich auch ganz gut
auf Lagrange verzichten und die Aufgabe mit den
"elementaren" Mitteln der Differentialrechnung lösen.
LG Al
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> Da wurde
> verlangt, Lagrange anzuwenden. Alternative
> Lösungsvorschläge wurden gleich abgewürgt mit dem
> Zusatz, es würde einige nur verwirren. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Hallo,
das ist wirklich ein saublödes "Argument"!
Ich verstehe gut, warum der Lagrangeansatz genommen werden soll.
Jeder würde es doch verstehen, wenn gesagt würde:
"Der Lagrangeansatz muß hier genommen werden, weil wir wollen, daß ihr ihn an u.a. diesem Beispiel übt."
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Do 28.07.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> > es würde einige nur verwirren.
>
> Hallo,
>
> das ist wirklich ein saublödes "Argument"!
das ist aber leider O-Ton.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
Ich hatte das schon anders. Habe ich aber wieder geändert. Ich rechne jetzt mal durch.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:01 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
für
[mm] r1=\bruch{25}{\wurzel{5}}
[/mm]
[mm] r2=\wurzel{5}
[/mm]
zur Kontrolle habe ich eingesetzt in
[mm] x=r1^{0,5}r2^{0,5}
[/mm]
5=5
für C(r1,r2)=44,72
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> siehe oben
> für
>
> [mm]r1=\bruch{25}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> [mm]r2=\wurzel{5}[/mm]
>
> zur Kontrolle habe ich eingesetzt in
>
> [mm]x=r1^{0,5}r2^{0,5}[/mm]
>
> 5=5
>
> für C(r1,r2)=44,72
Hallo,
bitte poste Deine Rechnung nachvollziehbar.
Wenn Du möchtest, daß korrigiert und erklärt wird, sollte das, was hier zu stehen kommt, über Schmierzettelnotizen hinausgehen.
Ich stelle mir das so vor:
"Zu minimieren war die Funktion ... unter der Nebenbedingung ...",
und dann müßte die Rechnung folgen.
Das Ziel ist doch, daß wir schauen, ob Du es richtig machst und nicht, daß wir alles selber rechnen.
Wenn Du mit dem Lagrangeansatz arbeitest, wäre also die Lagrangefunktion, die partiellen Ableitungen, die Berechnung der kritischen Punkte und die von Dir gezogenen Schlüsse zu posten.
Oder Du folgst Al-Chwarizmis gutem Rat: er schlägt vor, die NB zu schreiben als [mm] r_2=\bruch{25}{r_1}, [/mm] dies in die zu maximierende Funktion einzusetzen und eine "ganz normale" Extremwertberechnung zu machen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
I. 5r2 - [mm] r1^{-0,5}r2^{0,5} [/mm] = [mm] 5\lambda
[/mm]
II. 3r1 - [mm] r1^{0,5}r2^{-0,5}= 5\lambda
[/mm]
III. [mm] \wurzel{r1}\wurzel{r2} [/mm] = 5
ist das soweil richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Do 28.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Du bist beratungsresistent ! Mit $ [mm] r_2=\bruch{25}{r_1}, [/mm] $ folgt, dass Du die Funktion
[mm] f(r_1)= 3r_1 +\bruch{125}{r_1}
[/mm]
untersuchen mußt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
Tut mir leid.
Ich habe das Skript durchschaut. Wir sollen Lagrange anwenden.
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> siehe oben
> I. 5r2 - [mm]r1^{-0,5}r2^{0,5}[/mm] = [mm]5\lambda[/mm]
>
> II. 3r1 - [mm]r1^{0,5}r2^{-0,5}= 5\lambda[/mm]
>
> III. [mm]\wurzel{r1}\wurzel{r2}[/mm] = 5
>
> ist das soweil richtig?
Hallo,
messerscharf schließend stelle ich fest, daß Du gerne mit dem Lagrangeansatz arbeiten möchtest.
Ist es wirklich zuviel verlangt, die Lagrangefunktion mal hinzuschreiben?
Wo kommen die drei Gleichungen her?
Und nochwas: spendiere doch den Unterstrich, mit welchem die Indizes dann wirklich Indizes werden. Viel Mühe macht das nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
[mm] L=3r1+5r2-\lambda(r1^{0,5}r2^{0,5}-5)
[/mm]
[mm] \bruch{dL}{dr1} [/mm] = I.
[mm] \bruch{dL}{dr2} [/mm] = II.
[mm] \bruch{dL}{d\lambda} [/mm] = III.
Dann jeweils umstellen und ich erhalte diese Gleichen von I.-III.
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> siehe oben
> [mm]L=3r1+5r2-\lambda(r1^{0,5}r2^{0,5}-5)[/mm]
>
> Dann jeweils umstellen und ich erhalte diese Gleichen von
> I.-III.
Hallo,
die Lagrangefunktion stimmt.
Aber - heiliger Strohsack steh mir bei! - Du hast keinen blassen Schimmer davon, wie man nun weitermacht. Ein Blick ins Skript ist in solchen Fällen oft nicht ganz verkehrt, denn mit "irgendwas tun" kommt man oftmals nicht zum Ziel.
Kochrezept:
1. Lagrangefunktion aufstellen. (Hast Du getan.)
2. Die partiellen Ableitungen nach [mm] r_1, r_2, \lambda [/mm] notieren.
3. Die partiellen Ableitungen =0 setzen
4. Das so entstandene Gleichungssystem lösen
5. Die Lösungen sind die kritischen Punkte (stationären Punkte)
6. Diese Punkte müssen nun daraufhin untersucht werden, welcher Minimalstelle ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
wenn [mm] L=u(x,y)-\lambda(x^{a}y^{b}-z)
[/mm]
I:
[mm] \bruch{dL}{dx}=\bruch{u(x,y)}{x}-\lamba x^{a-1}y^{b} [/mm] = 0
Die Ableitung ist doch richtig oder nicht?
Was habe ich denn für ein Rechenfehler???
Das Skript ist einfach unübersichtlich. Deswegen frage ich hier um Hilfe.
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> siehe oben
> wenn [mm]L=u(x,y)-\lambda(x^{a}y^{b}-z)[/mm]
>
> I:
>
> [mm]\bruch{dL}{dx}=\bruch{u(x,y)}{x}-\lamba x^{a-1}y^{b}[/mm] = 0
>
> Die Ableitung ist doch richtig oder nicht?
Hallo,
nein!
Richtig wäre
[mm] $\bruch{dL}{dx}=\bruch{\red{d}u}{\red{d}x}(x,y)-\red{a*\lambda} x^{a-1}y^{b}$ [/mm]
Wir machen es mal am konkreten Beispiel:
Wir hatten [mm] L(x,y\lambda)=3x+5y-\lambda(x^{0,5}y^{0,5}-5) [/mm] $
Jetzt wird nach x abgeleitet, dh. y und [mm] \lambda [/mm] behandeln wir wie irgendwelche Zahlen.
Weil's einfacher ist, schreiben wir für den Moment L noch um:
[mm] L(x,y\lambda)=3x+5y-\lambda x^{0,5}y^{0,5}-5\lambda
[/mm]
[mm] L_x=3-\lambda y^{0.5}*0.5x^{-0.5}=3-0.5\lambda x^{-0.5}y^{0.5}.
[/mm]
Überlege Dir genau, ob und wieso das richtig ist.
Wenn Du es nicht verstehst, dann frag nach.
> Das Skript ist einfach unübersichtlich. Deswegen frage ich
> hier um Hilfe.
So ist das Forum auch gedacht: im Skript lesen, und was man dort nicht versteht, hier nachfragen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
$ [mm] L_x=3-\lambda y^{0.5}\cdot{}0.5x^{-0.5}=3-0.5\lambda x^{-0.5}y^{-0.5}. [/mm]
[mm] y^{-0.5} [/mm] --wo kommt die -0,5 her?
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> siehe oben
> $ [mm]L_x=3-\lambda y^{0.5}\cdot{}0.5x^{-0.5}=3-0.5\lambda x^{-0.5}y^{-0.5}.[/mm]
>
> [mm]y^{-0.5}[/mm] --wo kommt die -0,5 her?
Oh! Das war ein Tippfehler.
Richtig ist [mm] $L_x=3-0.5\lambda x^{-0.5}y^{0.5}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> siehe oben
>
> [mm]L=3r1+5r2-\lambda(r1^{0,5}r2^{0,5}-5)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dL}{dr1}[/mm] = I.
>
> [mm]\bruch{dL}{dr2}[/mm] = II.
>
> [mm]\bruch{dL}{d\lambda}[/mm] = III.
>
> Dann jeweils umstellen und ich erhalte diese Gleichen von
> I.-III.
Hallo maureulr,
auch für die Rechnung mit der Methode von Lagrange
wäre es doch äußerst sinnvoll, die Nebenbedingung
nicht in der Form
$\ [mm] r_1^{\,0,5}*r_2^{\,0,5}-5\ [/mm] =\ 0$
zu schreiben, sondern als
$\ [mm] r_1*r_2-25\ [/mm] =\ 0$
Übrigens: klicke doch mal auf diese Gleichungen, um
zu sehen, wie man die Indices schreibt (also [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2
[/mm]
anstatt $r1$ und $r2$) !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
[mm] L=3r_{1}+5r_{2}-\lambda(r_{1}r_{2}-25)
[/mm]
I. [mm] L_{r_{1}}=3 [/mm] - [mm] \lambda r_{2} [/mm] = 0
II. [mm] L_{r_{2}}=5 [/mm] - [mm] \lambda r_{1} [/mm] = 0
III. [mm] L_{r_{2}}=r_{1}r_{2} [/mm] = 25
[mm] r_{1}=\wurzel{15}
[/mm]
[mm] r_{2}=\wurzel{\bruch{125}{3}}
[/mm]
In Ordnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 28.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> siehe oben
> [mm]L=3r_{1}+5r_{2}-\lambda(r_{1}r_{2}-25)[/mm]
>
> I. [mm]L_{r_{1}}=3[/mm] - [mm]\lambda r_{2}[/mm] = 0
>
> II. [mm]L_{r_{2}}=5[/mm] - [mm]\lambda r_{1}[/mm] = 0
>
> III. [mm]L_{r_{2}}=r_{1}r_{2}[/mm] = 25
>
> [mm]r_{1}=\wurzel{15}[/mm]
>
> [mm]r_{2}=\wurzel{\bruch{125}{3}}[/mm]
>
> In Ordnung?
Fast: richtig ist:
[mm]r_{2}=\wurzel{15}[/mm]
[mm]r_{1}=\wurzel{\bruch{125}{3}}[/mm]
FRED
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Do 28.07.2011 | | Autor: | maureulr |
Sorry war mein Fehler.
Hab [mm] r_{1} [/mm] und [mm] r_{2} [/mm] verkehrt aufgeschrieben. Ich habe das auch so.
Schönen DAnk
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
. Ich kann mich noch gut an die VL Mikroökonomie an meiner Uni erinnern. Da wurde verlangt, Lagrange anzuwenden. Alternative Lösungsvorschläge wurden gleich abgewürgt mit dem Zusatz, es würde einige nur verwirren. 