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Hallo Zusammen !
war lange nicht mehr on.....aber auch nicht richtig off 
Habe mich wieder mit dem Collatz-Problem beschäftigt.Ich hatte vor einiger Zeit schon mal einen Thread zu dem Thema eröffnet:
https://matheraum.de/read?t=283526
(is aber im Sande verlaufen)
Diese Definitionen liefern die Grundlage für meine Frage oder Ansatz.
Zunächst nochmal die Definition der Collatz-Iteration:
Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $C:\IN\to\IN$ [/mm] eine Abbildung mit
[mm] $$C(n)=\begin{cases} \frac{n}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 3n+1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
weiterhin sei $G$ die Menge der geraden und $U$ die Menge der ungeraden Zahlen.
Mit [mm] $C^a(n)$ [/mm] bezeichne ich die $a$-te Collatz-Potenz, [mm] $a\in\IN$ [/mm] (Anzahl der Iterationen).
Behauptung:
Jede natürliche Zahl [mm] $n\in\IN$ [/mm] wird in endlichen Schritten durch die Collatz-Iteration bei Eins enden (bzw. in der Schleife 4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1........)
Nun zu meinem Ansatz:
Sei [mm] $N\in\IN$ [/mm] und sei die Behauptung für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit $n<N$ gezeigt.
Dann gibt es ein [mm] $\tilde{n}\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\tilde{n}N$.
[/mm]
Beweis:
1.Fall [mm] $N\in [/mm] G$: wegen [mm] $N-1\in [/mm] U$ folgt $3(N-1)+1=3N-2$ und da [mm] $\forall n\ge [/mm] 2$ gilt $N<3N-2$ ist der 1.Fall somit bewiesen.
2. Fall [mm] $N\in [/mm] U$: wegen [mm] $N-2\in [/mm] U$ folgt $3(N-2)+1=3N-5$ und da [mm] $\forall n\ge [/mm] 3$ gilt $N<3N-5$ ist der Ansatz bewiesen .
Somit existiert automatisch eine Zahl [mm] $\tilde{n}\in\IN$ [/mm] zu jedem [mm] $N\in\IN$, [/mm]
so dass [mm] $C(\tilde{n})>N$ [/mm] und es existiert ein [mm] $a\in \IN$ [/mm] so dass [mm] $C^a(C(\tilde{n}))=1$.
[/mm]
Betrachtet man nun die Menge der Zahlen, die zwischen $3N-2$ und $N$ (1.Fall) und jene die zwischen $3N-5$ und $N$ (2.Fall) liegen, gibt es dort wiederum gerade und ungerade Zahlen.
Ich bezeichne die Menge der Zahlen dazwischen als [mm] $D_N$.
[/mm]
1.Fall:
$ N=2 $: $ 3N-2=4 $. $ [mm] D_2=\{ 3\} [/mm] $
$ N=4 $: $ 3N-2=10 $. $ [mm] D_4=\{ 5,6,7,8,9\} [/mm] $
$ N=6 $: $ 3N-2=16 $. $ [mm] D_6=\{ 7,8,9,10,11,12,13,14,15\} [/mm] $
$ N=8 $: $ 3N-2=22 $. $ [mm] D_8=\{9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21\} [/mm] $
$ N=10 $ : $ 3N-2=28 $. $ [mm] D_{10}=\{ 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27\} [/mm] $
...
wie man sieht konvergieren die geraden Zahlen innerhalb [mm] $D_N$ [/mm] zu Zahlen die in [mm] $D_N$ [/mm] liegen, oder sie fallen unter das Minimum von [mm] $D_N$. [/mm] (Soll heissen: alle geraden Zahlen die unter das Minimum fallen, konvergieren ebenfalls zur 1)
2.Fall:
$ N=3 $: $ 3N-5=4 $. $ [mm] D_3=\{ \} [/mm] $
$ N=5 $: $ 3N-5=10 $. $ [mm] D_5=\{ 6,7,8,9\} [/mm] $
$ N=7 $: $ 3N-5=16 $. $ [mm] D_7=\{ 8,9,10,11,12,13,14,15\} [/mm] $
$ N=9 $: $ 3N-5=22 $. $ [mm] D_9=\{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21\} [/mm] $
$ N=11 $ : $ 3N-5=28 $. $ [mm] D_{11}=\{ 12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27\} [/mm] $
...
auch hier haben die gerade Zahlen dieselbe Eigenschaft.
So nun zu meiner Frage (ich könnte noch mehr ausholen, aber sprengt den Rahmen und meine Uhr):
Instinktiv behaupte ich das der Ansatz für eine Induktion verwendet werden kann.
Ich bin mir jedoch nicht schlüssig, inwiefern die ungeraden Zahlen innerhalb [mm] $D_N$ [/mm] eine Rolle spielen.
Bitte um Vorschläge, Kritik....etc
MFG Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 12.04.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo Mathmark,
instinktiv sage ich, dass der Ansatz nicht ausreichend bzw. zielführend ist.
Ich sehe nicht, wie du die "Konvergenz" der Zahlen, die zwischen $ 3N-2 $ und $ N $ (1.Fall) und jene die zwischen $ 3N-5 $ und $ N $ (2.Fall) liegen
für ein allgemeines N beweisen willst bzw. kannst.
Dazu reicht es nicht aus alle Werte für relativ kleine N anzuschauen.
Wie willst du z.B. ausschließen, dass sich ein Zyklus [mm] $C^{a+k\mathbb Z}(n)=C^a(n)$ [/mm] für ein n bildet?
Ich sehe hier keinen ausreichenden Ansatz.
Ferner bin ich der Meinung, dass ein Beweisversuch der Collatz-Vermutung durch Induktion nicht sonderlich aussichtsreich ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Mathmark |
Hallo sometree !
Eintrag in Wikipedia:
Alle positiven ganzen Zahlen bis [mm] $20\cdot 2^{58} [/mm] $ als Startwerte bestätigen die Vermutung (Stand Januar 2009).
Aufgrund dieser Tatsache gibt es ein [mm] $N>20\cdot 2^{58}$ [/mm] für die die Vermutung ebenfalls gilt.
Erstmal der Grundgedanke !
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Sa 13.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo sometree !
>
> Eintrag in Wikipedia:
> Alle positiven ganzen Zahlen bis [mm]20\cdot 2^{58}[/mm] als
> Startwerte bestätigen die Vermutung (Stand Januar 2009).
>
> Aufgrund dieser Tatsache gibt es ein [mm]N>20\cdot 2^{58}[/mm] für
> die die Vermutung ebenfalls gilt.
Da braucht man nicht viel fuer. Man nehme einfach irgendeine Zweierpotenz, die groesser als $20 [mm] \cdot 2^{58}$ [/mm] ist. Damit bekommt man sogar beliebig grosse Zahlen, fuer welche die Collatz-Vermutung gilt. Nur: was bringt uns das?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Do 18.04.2013 | | Autor: | wieschoo |
Bei solchen Sachen bin ich der Auffassung, dass die Welt schon alle möglichen Induktionsbeweise über 1-3 Seiten gesehen hat.
Sofern da keine richtig neue geniale Idee kommt wird das wohl nichts.
Ich möchte auch auf das Buch:
"The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem" von Jeffrey C. Lagarias verweisen, welches das 3n+1 Problem und verallgemeinerte Versionen aus verschiedenen Sichtweisen betrachtet. Spätestens dort würde eine Induktion auftauchen, falls sie wirklich so einfach ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 13.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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