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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Do 10.07.2008 | | Autor: | MattiJo |
Hallihallo,
ich stehe derzeit bei folgendem Integral auf dem Schlauch:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(wt) e^{-st} dt}
[/mm]
partielle Integration führt zu nichts, es würde bis zum unendlichsten Schritt nichts rausfliegen,
und mir fällt auch keine passende Substitution ein.
Ich muss laut Aufgabenstellung die Laplacetransformierte nicht aus der Liste nehmen, sondern sie nach der Definition herleiten.
Ich hoffe, ihr habt einen Tipp für mich!
grüße, matti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Do 10.07.2008 | | Autor: | He_noch |
Hi!
Vielleicht bringt Umschreiben des Cosinus in e-Form, also cos(z) = [mm] e^{iz}+e^{-iz} [/mm] was...
Gruß Christian
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:06 Do 10.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> Vielleicht bringt Umschreiben des Cosinus in e-Form, also
> cos(z) = [mm]e^{iz}+e^{-iz}[/mm] was...
nur eine Kleinigkeit:
Es gilt
$$
[mm] \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
[/mm]
$$
(Oder eben [mm] $\blue{2} \cos(z)=e^{iz}+e^{-iz}$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:43 Do 10.07.2008 | | Autor: | He_noch |
upps, hast recht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Do 10.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matti!
Durch 2-malige partielle Integration und anschließender Äquivalenzumformung sollte man aber auf eine Stammfunktion kommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 10.07.2008 | | Autor: | MattiJo |
Nun ja,
partielle Integration hab ich ja versucht, macht aber ja meiner meinung nach nur dann Sinn, wenn einer der Faktoren sich irgendwann auflöst, sodass kein Integralpart im Term mehr übrigbleibt. Aber sowohl der Cosinus wird sich niemals auflösen (cos --> sin --> -cos --> -sin --> cos) und die e-Funktion integriert gibt wieder die e-Funktion selbst....
über die komplexe Form des Cosinus hab ich auch nachgedacht...aber dann krieg ich ja eine komplexe Transformierte raus....
danke schonmal für eure hilfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 10.07.2008 | | Autor: | He_noch |
Dann probiers mal mit zwei mal partiell Integrieren, dann müsstet du links und rechts von deinem Gleich dein Integral haben und kannst danach auflösen
Sorry, hab Ableiten und Integrieren durcheinander geschmissen...
Man, heut ists glaub ich einfach zu warm...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 10.07.2008 | | Autor: | MattiJo |
Tut mir leid, aus deinem Satz bin ich jetzt nicht schlau geworden...
partiell kann ich doch nur ableiten, wenn ich eine mehrvariablige Funktion vorliegen hab, ich hab hier aber nur eine Funktion f(t) = cos (wt), kann also nur nach meiner einzigen Variablen t ableiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 10.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matti!
Nun befolge doch einfach mal die Tipps und integriere zweimal partiell.
Dabei solltest Du dann sowhl links als auch rechts denselben Term [mm] $\integral{\cos(w*t)*e^{-s*t} \ dt}$ [/mm] stehen haben.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 10.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Matti,
ich rechne Dir mal ein analoges Beispiel vor, an dem Du vll. siehst, worauf Loddar hinaus will (wenn ich ihn recht verstehe), und zwar geht es dabei um [mm] $\int \sin(x)\cos(x)\;dx$:
[/mm]
Mit partieller Integration folgt:
[mm] $$\int \sin(x)\cos(x)\;dx=\sin^2(x)-\int \cos(x)\sin(x)\;dx$$
[/mm]
Das sieht zunächst nicht zielführend aus, aber wenn man nun [mm] $A:=\int \sin(x)\cos(x)\;dx$ [/mm] setzt, so sieht man vielleicht besser, dass dort eigentlich steht:
[mm] $$(\star)\;\;\;\; A=\sin^2(x)-A$$
[/mm]
was äquivalent zu [mm] $A=\frac{\sin^2(x)}{2}$ [/mm] ist.
Ich denke, worauf Loddar hinaus will:
Um [mm] $\integral_{0}^{\infty}{cos(wt) e^{-st} \;dt}$ [/mm] zu berechnen, führe zweimalige partielle Integration durch. Setze danach meinetwegen [mm] $A:=\integral_{0}^{\infty}{cos(wt) e^{-st}\; dt}$ [/mm] und schau' dann nach, ob Deine Umformungen eine "schöne Gleichung" (ähnlich der [mm] $(\star)$) [/mm] in $A$ ergeben, die sich nach $A$ umformen läßt.
P.S.:
Es ist dabei sicherlich auch wichtig, dass Du beachtest:
[mm] $\sin'(x)=\cos(x)$, $\cos'(x)= \; [/mm] - [mm] \; \sin(x)$
[/mm]
(Und daher auch
[mm] $\int \sin(x)\;dx=\;-\;\cos(x)$ [/mm] sowie [mm] $\int \cos(x)\;dx=\sin(x)$, [/mm] wenn [mm] $\int f(x)\;dx$ [/mm] irgendeine Stammfunkton von $f$ bezeichne.)
Gruß,
Marcel
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hi , wie würde man denn das integral aus [mm] \integral_0^{\infty} [/mm] sin(wt) * cos(wt) * [mm] e^{-st} [/mm] dt
lösen? mir wurde gesagt ich soll hierauf die partielle integration anwenden. es gibt keine möglichkeit das [mm] e^{-st} [/mm] aus dem integrall zu ziehen oder irgendwie seperat zu berechen oder? weil wenns die gebe dann würd ich das integral aus sin mal cos so lösen wie dus hier gemacht hast.
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Hallo,
[mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(\omega t)*e^{-st} dt}
[/mm]
1. partielle Integration:
[mm] v'=cos(\omega [/mm] t)
[mm] u=e^{-st}
[/mm]
[mm] v=\bruch{1}{\omega}sin(\omega [/mm] t)
[mm] u'=-s*e^{-st}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(\omega t)*e^{-st} dt}=e^{-st}*\bruch{1}{\omega}sin(\omega t)-\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\omega}sin(\omega t)*(-s)*e^{-st} dt}=e^{-st}*\bruch{1}{\omega}sin(\omega t)+\bruch{s}{\omega}\integral_{0}^{\infty}{sin(\omega t)*e^{-st} dt}
[/mm]
2. partielle Integration, anwenden auf [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(\omega t)*e^{-st} dt}
[/mm]
[mm] v'=sin(\omega [/mm] t)
[mm] u=e^{-st}
[/mm]
[mm] v=-\bruch{1}{\omega}cos(\omega [/mm] t)
[mm] u'=-s*e^{-st}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(\omega t)*e^{-st} dt}=e^{-st}*\bruch{1}{\omega}sin(\omega t)+\bruch{s}{\omega}[e^{-st}*(-\bruch{1}{\omega})cos(\omega t)-\integral_{0}^{\infty}{-\bruch{1}{\omega}cos(\omega t)*(-s)*e^{-st}dt}]
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(\omega t)*e^{-st} dt}=e^{-st}*\bruch{1}{\omega}sin(\omega t)-\bruch{s}{\omega^{2}}e^{-st}cos(\omega t)-\bruch{s^{2}}{\omega^{2}}\integral_{0}^{\infty}{cos(\omega t)*e^{-st}dt}
[/mm]
jetzt haben wir auf der rechten und linken Seite der Gleichung das gleiche Integral stehen, wir addieren [mm] \bruch{s^{2}}{\omega^{2}}\integral_{0}^{\infty}{cos(\omega t)*e^{-st}dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(\omega t)*e^{-st} dt}+\bruch{s^{2}}{\omega^{2}}\integral_{0}^{\infty}{cos(\omega t)*e^{-st} dt}=e^{-st}*\bruch{1}{\omega}sin(\omega t)-\bruch{s}{\omega^{2}}e^{-st}cos(\omega [/mm] t)
den Rest schaffst du jetzt, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Sa 08.11.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
danke für die hilfestellung
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