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Hallo Leute, ich habe wieder ein Problem.
Diesmal geht es um Schwingungen:
- Betrachten Sie die DGL: m* [mm] \bruch{d²}{dt²}x=-y* \bruch{d}{dt}x [/mm] - Kx + F(t)
Setzen Sie zunächst F(t)=o und finden Sie 2 komplexe Zahlen λ_{1/2}, die mit dem Ansatz [mm] x(t)=a*e^{λt} [/mm] die homogene DGL lösen.
-naja ich hatte keine Probleme mit der DGL
ich habe für λ_{1}=1/2*(-y+ [mm] \wurzel{y²-4mk}. [/mm] +
Dann bekomme ich λ_{1/2}= -1/2*y [mm] \pm [/mm] i* [mm] \wurzel{4mK-y²}
[/mm]
oder?
Als nächste ist aber:
Finden Sie komplexe Zahlen [mm] a_{1/2} [/mm] so, dass die Linearkombination [mm] x_{H}= a_{1}*e^{λ_{1}t}+a_{2}*e^{λ_{2}t} [/mm] die Anfangsbedingungen erfüllt: x(0)= [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x'(0)=v_{0}
[/mm]
wie soll ich da vorgehen? ist das so, dass ich einfach alles in den Ansatz einsetzen muss? und dann ableiten; dann die Anfangsprobleme einfach betrachten? Aber dann würden [mm] a_{1/2} [/mm] von [mm] v_{0}, x_{0}, [/mm] y und mk abhängen oder?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Schöne Grüße
Susi
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Hallo,
> - Betrachten Sie die DGL: m* [mm]\bruch{d²}{dt²}x=-y* \bruch{d}{dt}x[/mm]
> - Kx + F(t)
>
> Setzen Sie zunächst F(t)=o und finden Sie 2 komplexe Zahlen
> λ_{1/2}, die mit dem Ansatz [mm]x(t)=a*e^{λt}[/mm] die
> homogene DGL lösen.
>
> -naja ich hatte keine Probleme mit der DGL
> ich habe für λ_{1}=1/2*(-y+ [mm]\wurzel{y²-4mk}.[/mm] +
>
> Dann bekomme ich λ_{1/2}= -1/2*y [mm]\pm[/mm] i*
> [mm]\wurzel{4mK-y²}[/mm]
> oder?
Ich erhalte hier für [mm]y^{2} \; < \;4mK[/mm] folgendes:
[mm]\lambda _{1,2} \; = \; - \frac{y}
{{2m}}\; \pm \;i\sqrt {\frac{K}
{m}\; - \;\left( {\frac{y}
{{2m}}} \right)^{2} } [/mm]
Demzufolge ist die homogene Lösung der DGL:
[mm]x(t)\; = \;z_{1} \;e^{\lambda _{1} \;t} \; + \;z_{2} \;e^{\lambda _{2} \;t} [/mm] mit [mm]\lambda _{1,2} ,\;z_{1,2} \; \in \;\IC[/mm]
> Als nächste ist aber:
> Finden Sie komplexe Zahlen [mm]a_{1/2}[/mm] so, dass die
> Linearkombination [mm]x_{H}= a_{1}*e^{λ_{1}t}+a_{2}*e^{λ_{2}t}[/mm]
> die Anfangsbedingungen erfüllt: x(0)= [mm]x_{0}[/mm] und
> [mm]x'(0)=v_{0}[/mm]
>
> wie soll ich da vorgehen? ist das so, dass ich einfach
> alles in den Ansatz einsetzen muss? und dann ableiten; dann
> die Anfangsprobleme einfach betrachten? Aber dann würden
> [mm]a_{1/2}[/mm] von [mm]v_{0}, x_{0},[/mm] y und mk abhängen oder?
So ist es.
[mm]\begin{gathered}
x(0)\; = \;x_{0} \; = \;z_{1} \; + \;z_{2} \hfill \\
x'(0)\; = \;v_{0} \; = \;\lambda _{1} \;z_{1} \; + \;\lambda _{2} \;z_{2} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Natürlich mußt Du noch das entstehende Gleichungssystem lösen.
Gruß
MathePower
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Hi Susi,
die homogene Dgl. zu Deiner Aufgabe ist doch [mm] $m\cdot\bruch{d²}{dt²}x=-y\cdot{} \bruch{d}{dt}x [/mm] $!
Mit dem freundlicherweise empfohlenen Ansatz komme ich auf [mm] $\lambda_1=0, \lambda_{2}=-\bruch{y}{m}$.
[/mm]
Ich denke mal, dass Du Dich von den Konstanten nicht aus der Ruhe bringen lassen wirst und die Aufgabe ab hier alleine lösen kannst.
Grüße,
Peter
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Ja Peter, bloß diese K*x muss ich doch auch mit reinnehmen oder?
vieleicht hast Du das einfach übersehen. Also ich meine, dass man schon K*x(t) doch mit reinnehmen muss. dann entsteht doch die Gleichung:
m*λ²+y*λ+K=0
=> λ²+(y/m)*λ+K/m=0
und dannn kann man doch nahc der p/q-Formel lösen?!
ich bin nicht so sicher, ob mein Weg richtig ist.
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Hallo,
> Ja Peter, bloß diese K*x muss ich doch auch mit reinnehmen
> oder?
das K*x gehört mit zur homogenen DGL.
> vieleicht hast Du das einfach übersehen. Also ich meine,
> dass man schon K*x(t) doch mit reinnehmen muss. dann
> entsteht doch die Gleichung:
> m*λ²+y*λ+K=0
> => λ²+(y/m)*λ+K/m=0
> und dannn kann man doch nahc der p/q-Formel lösen?!
Genau.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Ja, da hat mir die Gewohnheit, dass x meistens die unabhängige Variable ist, einen Streich gespielt.
Sorry für entstandene Verwirrung,
Peter
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Naja, ist doch nicht schlimm.
Ich bedanke mich für eure Hilfe.
Hab durch euch die Aufgabe schon fertig.
Die müsste auch fertig sein. Ich habe noch eine Aufgabe gepostet.
Vielleicht könnte ihr mir dabei helfen? :) wäre ganz nett.
also bis dann.
Schöne Grüße
Susi
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