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| Aufgabe | Gegeben ist die DGL
[mm] y''+w^{2}y=0
[/mm]
Zwei partikuläre Lösungen dieser Gleichung sind:
y=coswx, y=sinwx
a) Machen Sie einen Potenzreihenansatz [mm] y=\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}*x^{i} [/mm] zur Lösung der DGL. Zeigen Sie, wie man daraus durch geeignete Wahl der freien Konstanten die angegebenen parikulären Lösungen gewinnen kann. |
Hallo,
das ist also der erste Teil der Aufgabe.
Ich hab versucht die DGL folgendermaßen zu lösen:
1. Potenzreihe einsetzen:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}*i*(i-1)*x^{i-2}+w*\summe_{i=0}^{\infty}a{i}*x^{i}=0
[/mm]
das w darf ich weglassen. (warum?)
2. Variablentransformation (stimmt der Ausdruck dafür?)
also für den ersten Term n=i-2 und den zweiten Term n=i
--> [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n+2}*(n+2)*(n+1)*x^{n}+\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*x^{n}=0
[/mm]
Dann setz ich erstmal n=0 ein:
[mm] 2a_{2}+a_{0}+\summe_{n=1}^{\infty}a_{n+2}*(n+2)*(n+1)*x^{n}+a_{n}*x^{n}=0
[/mm]
3. Koeffizientenvergleich
n=0: [mm] 2a_{2}+a_{0}=0 [/mm] --> [mm] a_{0}=-2a_{2}
[/mm]
n=1: [mm] 6a_{3}+a_{1}=0 [/mm] --> [mm] a_{1}=-6a_{3}
[/mm]
n=2: [mm] 12a_{4}+a{2}=0 [/mm] --> [mm] a{2}=-12a_{4}
[/mm]
Soweit bin ich nun gekommen. Aber da ich die einzelnen Koeffizienten nur in Abhängigkeit voneinander schreiben kann, weiß ich nicht wirklich weiter :(
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Bin absolut neu im Gebiet DGL, vllt könnt ihr mir ja auch noch ein paar hilfreiche Tips geben :)
Vielen Dank schonmal.
Grüße
Franz
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Hallo,
> Gegeben ist die DGL
> [mm]y''+w^{2}y=0[/mm]
> Zwei partikuläre Lösungen dieser Gleichung sind:
> y=coswx, y=sinwx
> a) Machen Sie einen Potenzreihenansatz
> [mm]y=\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}*x^{i}[/mm] zur Lösung der DGL.
> Zeigen Sie, wie man daraus durch geeignete Wahl der freien
> Konstanten die angegebenen parikulären Lösungen gewinnen
> kann.
> Hallo,
>
> das ist also der erste Teil der Aufgabe.
>
> Ich hab versucht die DGL folgendermaßen zu lösen:
> 1. Potenzreihe einsetzen:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}*i*(i-1)*x^{i-2}+w*\summe_{i=0}^{\infty}a{i}*x^{i}=0[/mm]
> das w darf ich weglassen. (warum?)
> 2. Variablentransformation (stimmt der Ausdruck dafür?)
> also für den ersten Term n=i-2 und den zweiten Term n=i
> -->
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n+2}*(n+2)*(n+1)*x^{n}+\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*x^{n}=0[/mm]
> Dann setz ich erstmal n=0 ein:
>
> [mm]2a_{2}+a_{0}+\summe_{n=1}^{\infty}a_{n+2}*(n+2)*(n+1)*x^{n}+a_{n}*x^{n}=0[/mm]
> 3. Koeffizientenvergleich
> n=0: [mm]2a_{2}+a_{0}=0[/mm] --> [mm]a_{0}=-2a_{2}[/mm]
> n=1: [mm]6a_{3}+a_{1}=0[/mm] --> [mm]a_{1}=-6a_{3}[/mm]
> n=2: [mm]12a_{4}+a{2}=0[/mm] --> [mm]a{2}=-12a_{4}[/mm]
>
> Soweit bin ich nun gekommen. Aber da ich die einzelnen
> Koeffizienten nur in Abhängigkeit voneinander schreiben
> kann, weiß ich nicht wirklich weiter :(
> 3. Koeffizientenvergleich
n=0: [mm]2a_{2}+a_{0}=0[/mm] --> [mm]a_{2}=-\bruch{1}{2}a_{0}[/mm]
n=1: [mm]6a_{3}+a_{1}=0[/mm] --> [mm]a_{3}=-\bruch{1}{6}a_{1}[/mm]
n=2: [mm]12a_{4}+a{2}=0[/mm] --> [mm]a{4}=-\bruch{1}{12}a_{2}=-\bruch{1}{12}*\left(-\bruch{1}{2}a_{0}\right)=\bruch{1}{4!}a_0[/mm]
n=3: [mm]20a_{5}+a{3}=0[/mm] --> [mm]a{5}=-\bruch{1}{20}a_{3}=-\bruch{1}{20}*\left(-\bruch{1}{6}a_{1}\right)=\bruch{1}{5!}a_1[/mm]
So erhält man zwei Potenzreihen mit jeweils verschiedenen Konstanten; eine sin-Reihe und eine cos-Reihe.
LG, Martinius
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