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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 27.07.2006 | | Autor: | flobaho |
| Aufgabe | Gegeben ist das Differentialgleichungssystem
[mm]\dot x= \alpha x+2\beta y[/mm]
[mm]\dot y= 2\beta x+\alpha y[/mm]
Für welche reellen [mm] \alpha[/mm] und [mm] \beta[/mm] ust der Gleichgewichtspunkt (0,0) stabil oder asymptotisch stabil? Man gebe die entsprechenden Lösungen für x und y an.
Hinweis: [mm] \beta[/mm]=0 ist ein Sonderfall. |
Mit dem charakteristischen Polynom habe ich als Resultate für die Eigenwerte erhalten: [mm] \lambda 1,\lambda 2 = \alpha \pm \beta[/mm]
Daraus kann ich Bedingungen für [mm] \alpha[/mm] und [mm] \beta [/mm] herleiten, so dass die Stabilitätsbedingugen ([mm] \lambda 1,\lambda 2 \le 0 [/mm]) erfüllt sind: [mm] \alpha < 0[/mm] und [mm] |\beta | \le |\alpha|[/mm] (ob dies stimm, weiss ich jedoch nicht).
Völlig unklar ist mir nun, wie ich daraus x und y herleiten kann...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du hast doch eine Gleichung der Art [mm] $\dot{\vec z}=A \vec [/mm] z$ da stehen.
Die Eigenwerte hast du schon berechnet, also kannst du auch die Eigenvektoren von A bestimmen, und kannst dann im Eigenvektorraum [mm] $\dot{\vec z}'=A \vec [/mm] z'$ schreiben, wobei A' nun eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten drin ist.
Auf diese Weise werden beide DGLs entkoppelt, und du hast nur noch zwei einzelne Gleichungen da stehen, die sich leicht mit dem Exponentialansatz lösen lassen.
Aus den Eigenvektoren machst du dir dann eine Transformationsmatrix, welche aus dem Eigenvektorraum in den Normalraum transformiert. Diese wendest du auf deine Lösungen z' an und erhälst die Lösungen z.
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