DGL 1.Ordnung Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] $\left| t \right| [/mm] $ < 1 betrachte die DGL
[mm] $\left( 1 - t^2 \right)x' [/mm] - tx + 1=0$.
Bestimmen Sie eine allgemeine Lösung der DGL und sodann lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] $\left( 1-t^2 \right) [/mm] x' - tx + 1 =0$
$x [mm] \left( 0 \right) [/mm] = 1$. |
Hallo Zusammen,
ich bin mal wieder am verzweifeln in Mathe. Ich muss wie in der Aufgabenstellung oben eine allgemeine Lösung der DGL angeben. Da es sich nach meiner Einschätzung um eine nicht-lineare DGL 1.Ordnung handelt, wäre mein erster Schritt die Trennung der Variablen gewesen. Da diese sich jedoch nicht trennen lassen, muss glaube ich substituiert werden. Daran scheitere ich im Moment. Durch Hilfe bin ich bereits soweit gekommen. Verstehe aber erstens nicht genau wie und warum man auf den Ansatz für die Substitution kommt und ob das dann überhaupt die allgemeine Lösung ist.
Hier sind meine Berechnungen:
1. Variablen trennen:
$ [mm] \left( 1-t^2 \right) [/mm] x' - tx + 1 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x' - [mm] \bruch{t}{1-t^2} [/mm] x = - [mm] \bruch{1}{1-t^2}$
[/mm]
Substitution:
[mm] $x_{\left( t \right)} [/mm] = [mm] e^{\int_{}^{} u_\left(t\right)}$ [/mm]
mit
[mm] $u=1-t^2$
[/mm]
[mm] $\bruch{du}{dt} [/mm] = -2t [mm] \Rightarrow [/mm] dt = - [mm] \bruch{du}{2t}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \int_{}{} \bruch{1}{t} \* u\,du$ $\Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \* \bruch{u^2}{t}$ [/mm] mit $u = [mm] 1-t^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \* \left( \bruch{1}{t} - t^3 \right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_{\left(t\right)} [/mm] = [mm] e^{- \bruch{1}{4} \left( \bruch{1}{t} - t^3 \right)}$
[/mm]
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