DGL 2. Grades < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mo 06.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils die allgemeine Lösung der DGL.
a)
[mm] y''-3y'+2y=e^{17x} [/mm] |
Hallo,
mein stand ist, das ich hierbei ersteinmal folgende homogene Gleichung lösen muss:
y''-3y'+2y=0
die Lösung hierzu ist: [mm] y=C_1*e^{2x}+C_2*e^x
[/mm]
soweit sogut, ich weiß auch das das endergebnis dem Summanden dieser Lösung und das finden einer partikulären Lösung entspricht. Nur weiß ich nicht wie ich eine partikuläre Lösung finden kann? Bzw. ich verstehe die Methode der Vorlesung nicht.
Unser Prof hat uns einen Satz gegeben, der folgendermaßen aussah:
[mm] y''+a_1y'+a_0y=e^{cx}(P_n(x)cos(bx)+Q_n(x)sinx(bx))
[/mm]
Kennt jemand diese Methode und ist in der Lage sie mir Schritt für Schritt zu erklären?
Danke schonmal für die Mühe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mo 06.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei so einfachen Inhomogenitaet versucht man es einfach mit dem Ansatz [mm] :y_p=A*(rechte [/mm] Seite) und bestimmt A
das geht so nur nicht, wenn die Rechte Seite schon Loesung der homogenen ist, was hier nicht der fall ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mo 06.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils die allgemeine Lösung der DGL.
b)
$ [mm] y''-3y'+2y=e^{2x} [/mm] $ |
Die Aufgabe ist ja sehr Ähnlich, aber ich komme bei der partikulären Lösung auf etwas anderes als der Prof:
Ich erhalte für A = 0, dh. für mich, dass die Partikuläre Lösung verschwindet und für das gesamt ergebnis keine Rolle mehr spielt.
laut Prof. ist die Partikuläre Lösung jedoch [mm] (x-1)e^{2x}
[/mm]
warum? und woher kommt das x?
Ich habe foldendermaßen gerechnet:
[mm] y_p=A e^{2x}
[/mm]
[mm] y_p'=2A e^{2x}
[/mm]
[mm] y_p''=4A e^{2x}
[/mm]
Das in die Ursprungsgleichug eingesetzt:
4A [mm] e^{2x} [/mm] -6A [mm] e^{2x} [/mm] +2A [mm] e^{2x} [/mm] = [mm] e^{2x}
[/mm]
0A [mm] e^{2x} [/mm] = [mm] e^{2x}
[/mm]
A = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mo 06.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte oben gesagt, dass wenn die rechte Seite schon Loesung der homogenen Dgl ist kannst du nicht erwarten ist der Ansatz falsch. bzw. er fuert nicht zu ner loesung.
Dass y=0 keine Loesung der inhomogenen dgl ist sieht man allerdings direkt, denn dann waere ja die linke Seite 0 die rechte [mm] \ne0. [/mm] also hast du auch mit A=0 was falsches gerechnet.
as 0*A $ [mm] e^{2x} [/mm] $ = $ [mm] e^{2x} [/mm] $ folgt doch [mm] 0=e^{2x} [/mm] also es gibt kein A. und sicher nicht A=0
Du brauchst also nen anderen Ansatz
[mm] y_p=A*x*e^2x [/mm] waere hier geeignet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mo 06.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Und wie kommt nun dieser ansatz zu stande? Mir ist nun klar warum der den ich eingeschlagen habe Falsch ist, aber noch nicht, warum dieser neue gilt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Di 07.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | y''-3y'+2y= [mm] e^{2x}
[/mm]
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Habe die Aufgabe noch immer nicht Richtig gelöst, auch dieser Ansatz fürhrt bei mir zum Falschen Ergebnis:
[mm] y_p= [/mm] Ax [mm] e^{2x}
[/mm]
[mm] y_p' [/mm] =A [mm] e^{2x}+ [/mm] 2Ax [mm] e^{2x}
[/mm]
[mm] y_p''= [/mm] 4A [mm] e^{2x} [/mm] +4Ax [mm] e^{2x}
[/mm]
4A [mm] e^{2x} [/mm] +4Ax [mm] e^{2x}- [/mm] 3A [mm] e^{2x} [/mm] - 6Ax [mm] e^{2x} [/mm] + 2Ax [mm] e^{2x} [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm]
A [mm] e^{2x} [/mm] = [mm] e^{2x}
[/mm]
Was mache ich jetzt noch verkehrt?
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> y''-3y'+2y= [mm]e^{2x}[/mm]
>
> Habe die Aufgabe noch immer nicht Richtig gelöst, auch
> dieser Ansatz fürhrt bei mir zum Falschen Ergebnis:
> [mm]y_p=[/mm] Ax [mm]e^{2x}[/mm]
> [mm]y_p'[/mm] =A [mm]e^{2x}+[/mm] 2Ax [mm]e^{2x}[/mm]
> [mm]y_p''=[/mm] 4A [mm]e^{2x}[/mm] +4Ax [mm]e^{2x}[/mm]
>
> 4A [mm]e^{2x}[/mm] +4Ax [mm]e^{2x}-[/mm] 3A [mm]e^{2x}[/mm] - 6Ax [mm]e^{2x}[/mm] + 2Ax [mm]e^{2x}[/mm]
> = [mm]e^{2x}[/mm]
> A [mm]e^{2x}[/mm] = [mm]e^{2x}[/mm]
>
> Was mache ich jetzt noch verkehrt?
Was soll denn verkehrt sein ?
Mit A=1 klappt's doch wunderbar
und du hast deine Partikularlösung.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Di 07.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
laut Lösung soll da [mm] (x-1)e^{2x} [/mm] rauskommen ...
wenn ich A = 1 in [mm] y_p [/mm] einsetze komme ich aber dann auf x [mm] e^{2x}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Di 07.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nichts verkehrt, A=1 ist richtig.
wenn [mm] y_p [/mm] eine spezielle Loesung der inhomogenen gleichung ist dann auch [mm] y_p+y_h
[/mm]
sodass etwa [mm] y_p=x*e^{2x} [/mm] und [mm] y_p=x*e^2x+B*e^{2x}
[/mm]
beides Loesungen der inhomogenen Gleichung sind (beliebiges B)
deshalb kann sich deine Loesung von der "offiziellen" unterscheiden.
setzt man Anfangsbed. ein ergeben sich natuerlich die gleichen Loesungen. (ueberleg sebst warum das so ist)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 06.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Mal ganz abgesehen von den Aufgaben hier, mein eigentliches Problem besteht eigentlich nur darin, den Richtigen Ansatz zu wählen.
Könnte mir jemande erklären, bei welcher Störfunktion ich welchen Ansatz wählen muss, oder noch besser, wie den Satz anwenden muss.
Ich habe in der Klausur keinen Formelzettel und würde deswegen die herleitung über den Satz bevorzugen als mir für jeden fall zu merken, welcher ansatz zu wählen ist.
Ich bin für jeden Hinweis dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mo 06.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn der inhomogene Teil nichts mit der homogenen Loesung zu tun hat, ist es immer ratsam A*inh als ansatz zu verwenden. Wenn der inh. teil schon Loseung des homogenen systems ist, ist klar, dass man damit nicht zum ziel kommt, denn dann ist ja A*Lsg eingesetzt 0 und nicht der inh. teil. dann weiss man , dass oft ein Polynom *inhomogener Teil zum erfolg fuehrt. Im gewissen sinn ist das "raten" aus Erfahrung, da man ja weiss, dass wieder auf der linken seite ein Polynom * der fkt und ihrer ableitungen vorkommt. natuerlich nimmt man dann erstmal das einfachste Polynom.
Der andere Weg ist ueber die Variation der Konstanten.
du setzt also an [mm] y_p=C1(x)*e^{2x}
[/mm]
und bekommst ne einfache dgl fuer C1.
Wenn beide loesungen auf der rechten Seite vorkommen, bei dir waer das etwa [mm] e^{2x}+6*e^x
[/mm]
dann eben [mm] A*x*e^{2x}+B*x*e^x [/mm] als Ansatz.
meist ist das schneller als Variation der Konstanten und ja auch leicht zu "raten"
Vorsicht, wenn rechts sinx oder cos x steht, dann ist der Ansatz Asinx+Bcosx oder Asin(x+b)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Di 07.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1 e^x [/mm] + [mm] C_2 e^{-x}
[/mm]
habe ich mit [mm] y_p [/mm] = cosx = x(A sinx + B cosx) den Richtigen Ansatz gewählt?
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Hallo s3rial!
Bitte eröffne für neue Aufgaben auch einen neuen Thread!
> habe ich mit [mm]y_p[/mm] = cosx = x(A sinx + B cosx) den Richtigen
> Ansatz gewählt?
Wo kommt der Faktor $x_$ her?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Di 07.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
aus meinen Buch habe ich folgendes erlesen:
g(x)= [mm] sin(\beta [/mm] x) [mm] \Rightarrow y_p [/mm] = [mm] x^r [/mm] (A sinx [mm] (\beta [/mm] x)+ B cos [mm] (\beta [/mm] x))
wenn [mm] \beta [/mm] ein teil der Lösung der Charakterischen Gleichung ist. Und da Beta für mich 1 war und eine Lösung der Char. Gelichung ebenfalls dachte ich an [mm] x^1 [/mm] = x ...
____________
okay, dann werde ich in Zukunft für jede Aufgabe einen weitern Thread eröffnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Di 07.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Wenn diese Fragen geklärt sind, mache ich für neue Aufgaben einen weiteren Thread auf.
Ich habe die Aufgabe nun mit ohne das x mal gerechnet und komme auf folgendes:
[mm] y_p [/mm] = A sinx + B cosx
[mm] y_p''= [/mm] - A sinx - B cosx
eingesetzt:
-A sinx - B cosx -A sinx - B cosx = cosx
-2A sinx - 2B cosx = cosx
Kooeffizienten vergleich
-2B = 1
B= [mm] -\bruch [/mm] {1}{2}
-2A = 0
A = 0
Und wenn ich mal in die Lösung schaue ist da auch viel wahrheit dran, nur was muss ich mit diesen Lösungen machen?
muss ich das B nun einfach vor die Störfunktion schreiben? Wenn ich das machen würde, wäre meine Lösung korrekt ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Di 07.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
ist hinfällig, habs verstanden
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