DGL 2. Ord. mit konst. Koeff. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 06.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Die DGL des ungestörten harmonischen Oszillators ohne Resonanz lautet
$ y''(t) + [mm] w_0^2 [/mm] y(t) = K cos(w_1t) $
mit $ [mm] w_0, w_1 \in \IR^+, w_1 \not= w_0 [/mm] $. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL. Was passiert falls sich [mm] $w_1 [/mm] $ dem Wert $ [mm] w_0 [/mm] $ annähert? |
1) Lösen der homogenen DGL:
Charakteristische Gleichung aufstellen:
$ [mm] \alpha^2 [/mm] + [mm] w_0^2 [/mm] = 0 $
[mm] $\gdw \alpha [/mm] = [mm] \pm w_0 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow y_h [/mm] = [mm] \lambda_1 e^{w_0t} [/mm] + [mm] \lambda_2 e^{-w_0t} [/mm] $
2) Partikuläre Lösung bestimmen
Ansatz der rechten Seite:
$ [mm] y_p [/mm] = c_1sin(w_1t) + c_2cos(w_1t) $
Ist alles soweit richtig? Ich fahre dann so fort:
2. Abl. von $ [mm] y_p [/mm] $ bestimmen
In die ursprüngliche DGL einsetzen
Durch Koeffizientenvergleich $ [mm] c_1, c_2 [/mm] $ bestimmen
Dann ist $ y = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm] $
Stimmt das? Denn mein Ergebnis stimmt überhaupt nicht mit der Lösung von Wolfram Alpha überein.
Ich habe am Ende:
$ y(t) = [mm] \lambda_1 e^{w_0t}+\lambda_2 e^{-w_0t}+\bruch{Kcos(w_1t)}{w_0^2-w_1^2} [/mm] $
Wolfram Alpha hingegen:
$ y(t) = [mm] c_1 [/mm] sin(t [mm] w_0)+c_2 [/mm] cos(t [mm] w_0)+\bruch{Kcos(w_1t)}{w_0^2-w_1^2} [/mm] $
thx :)
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