DGL 2. Ordnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Mi 04.05.2005 | | Autor: | xsjani |
Hallo,
nun habe ich mal eine Frage zu ner DGL 2. Ordnung. Wie rechnet man diese? Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen ? Ich soll die allgemeine Lösung bestimmen von
y'' + 2y' - 3y = 0
Folgendes AWP soll ich auch noch lösen: y(0) = 2 , y'(0) = 1
Danke, Jani
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Juliane,
da ja in der Differentialgleichung verschiede Ableitungen zusammen 0 ergeben sollen (immer für alle Zeiten), ist es naheliegend für $y(t)$ eine Funktion zu wählen, deren Ableitungen Ähnlichkeit zur Ausgangsfunktion haben. Daher wählt man häufig [mm] $y(t)=y_0 \cdot e^{\lambda t}$.
[/mm]
Du kannst ja mal dieses $y$ wählen und in die Differentialgleichung einsetzen. Dann solltest du auf Bedingungen für [mm] $y_0$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] kommen.
Ansonsten führt man sehr häufig Differentialgleichungen höherer Ordnung auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurück. Ich weiß jetzt nicht was ihr in der Vorlesung schon gemacht habt.
Hoffe ich konnte helfe, sonst frag nochmal nach.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mi 04.05.2005 | | Autor: | merry568 |
Die allgemeine Lösung der linearen DGL. $y''+2y'-3y=0$ zweiter Ordnung erhält man, indem man die Nullstellen des Polynoms [mm] $p(\lambda)=\lambda^2+2\lambda-3$ [/mm] bestimmt. Die (einfachen) Nullstellen sind [mm] $\lambda_1=1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=-3$.
[/mm]
Die allgemeine Lösung ist dann [mm] $y(t)=c_1e^t+c_2e^{-3t}$. [/mm] Im Falle von mehrfachen Nullstellen kommen noch Terme der Form [mm] $te^{\lambda t}$ [/mm] und im Fall von konjugiert komplexen Nullstellen Sinus- und Cosinusterme vor [mm] ($e^{ix}=\cdots$).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mi 04.05.2005 | | Autor: | xsjani |
Ja, genau diese allgemine Lösung habe ich nun auch rausbekommen:
Stimmt dann auch
y' = [mm] c_1 e^t [/mm] - 3 [mm] c_2 e^-^3^t [/mm]
Als AWP habe ich für [mm] c_1 [/mm] = 7/4 und für [mm] c_2 [/mm] = 1/4
Also dann für y = 7/4 [mm] e^t [/mm] + 1/4 [mm] e^-^3^t
[/mm]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
, aber wie kommst Du von [mm] $c_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] auf [mm] $3\,c_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] ? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
