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| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL
y'' + y + x² + 6 = 0 |
Hi,
ich würde nun die DGL zunächst umformen:
y'' + y = -x² -6
ist das so ok?
Nun die Lösungen der charakteristischen Gleichung lösen:
y'' + y = 0 ---> k1= -1 und k2= 0
Beim Aufstellen der Störfunktion hab ich nun aber schon ein Problem.
Mein Tip ist:
yp = x ( b0 +b1x + b2x²)
Das x vor der Klammer, weil [mm] \alpha=0 [/mm] ist und 0 auch Lösung der charakteristischen Gleichung ist.
Ist das soweit in Ordnung?
Viele Grüße
MrSamsonite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 08.07.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Samsonait!
> y'' + y = -x² -6
> ist das so ok?
Jep, würde ich auch so tun.
Als nächstes suchst Du die
Homogenen Lösungen.
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Dabei ist bei der Form [mm] y^{(n)}+...+y'+y=0 [/mm] "charakteristisches
Polynom" schon einmal kein schlechtes Stichwort. Aber Du hast es
falsch ausgeführt! So geht's richtig:
Du suchst alle Funktionen, die erfüllen, dass
(1) y'' + y = 0
Der Ansatz geht über die e-Funktion:
y = [mm] e^{\lambda x}.
[/mm]
Einsetzen in (1):
[mm] (\bruch{d}{dx})^2 e^{\lambda x} [/mm] + [mm] e^{\lambda x}
[/mm]
= [mm] \lambda^2 e^{\lambda x} [/mm] + [mm] e^{\lambda x}
[/mm]
= [mm] (\lambda^2 [/mm] + 1) [mm] e^{\lambda x}
[/mm]
[mm] \overset{!}{=} [/mm] 0.
Über den Faktor [mm]e^{\lambda x}[/mm] musst Du Dir keinen Kopf
machen, da die e-Funktion stets ungleich null ist.
Also interessieren Dich die Nullstellen des linken Faktors, der
das charakteristische Polynom der DGL übrigens definiert!
[mm] p(\lambda) [/mm] = [mm] (\lambda^2 [/mm] + 1) = 0
mit den NSTs [mm] \{ \lambda_{1;2}=\pm i\}
[/mm]
und folglich der Lösungsgesamtheit
y = [mm] c_1\cdot e^{ix} [/mm] + [mm] c_2\cdot e^{-ix};\quad c_1,c_2\in\IC
[/mm]
So weit so gut... fehlt noch wenigstens eine
Partikuläre Lösung.
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Du suchst eine Funktion y(x), die die Gleichung
(2) y''+y = [mm] -x^2 [/mm] - 6
erfüllt? Wie könnte sie wohl aussehen? Für mich nach einem Polynom
4. Grades (mit der zweiten Ableitung bekommen wir ein [mm] x^2 [/mm] rein).
Ausdrücke [mm] x^3 [/mm] und x brauchen wir wohl nicht (falls Du das nicht
siehst: Substituiere einmal [mm] u=x^2, [/mm] dann wird [mm] -x^2-6 [/mm] zu -u-6).
Das führt mich zu dem Ansatz
(3) y = [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + c
den ich noch etwas weiterveredeln muesste falls die Nullstellen der
Störfunktion den Nullstellen des charakteristischen Polynoms
entsprächen, was hier aber nicht der Fall ist.
Setzen wir den Ansatz (3) einmal in (2) ein:
y'' + y
= (12 a [mm] x^2 [/mm] + 2b) + [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + c
= [mm] ax^4 [/mm] + [mm] (12a+b)x^2 [/mm] + (2b+c)
[mm] \overset{!}{=} -x^2-6
[/mm]
Sofort: a:=0; b=-1; c=-4, also
[mm] y_p(x) [/mm] = - [mm] x^2 [/mm] - 4
(Ein Polynom 2. Grades hätte es als Ansatz auch getan...)
und ergo:
y = [mm] -x^2-4+c_1\cdot e^{ix} [/mm] + [mm] c_2\cdot e^{-ix};\quad c_1,c_2\in\IC
[/mm]
Ich hoffe, das hilft Dir diese Art DGLs zu verstehen!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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Was soll ich sagen? Einfach traumhaft! Super beschrieben und bin nun dank deiner Hilfe auch auf die Lösung gekommen *freu*
Vielen Dank
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