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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:39 So 28.02.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Lösung für [mm] \overset{\cdot}{v}(t)&=&-\frac{\gamma}{m}v(t)-g. [/mm] |
Hallo,
wie man sowas ganz allgemein macht ist mir klar. Habe nur eine spezielle Frage. Hier mal meine Lösung:
Lösung der homogenen Gleichung: [mm] \overset{\cdot}{v}(t)=-\frac{\gamma}{m}v(t).
[/mm]
[mm] \varphi_{H}(x)&=&C\mbox{\cdot exp}\left(-\int_{t_{0}}^{t}\frac{\gamma}{m}dx\right)\\&=&C\cdot\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t\right)
[/mm]
Lösung der inhomogenen Gleichung: [mm] \varphi_{I}(x)=C(x)\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t\right):
[/mm]
Mit Variation der Konstanten: [mm] C(x)&=&-\int_{t_{0}}^{t}g\cdot\exp\left(\int_{t_{0}}^{s}\frac{\gamma}{m}dt\right)\, [/mm] ds
[mm] =\frac{-g}{\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0})\right)}\int_{t_{0}}^{t}\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}s\right)ds
[/mm]
[mm] =\frac{-mg}{\gamma}\cdot\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t-t_{0})\right)+\frac{mg}{\gamma}
[/mm]
Also:
[mm] \varphi_{I}(x)&=&\left[\frac{-mg}{\gamma}\cdot\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t-t_{0})\right)+\frac{mg}{\gamma}\right]\cdot\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t)\right)\\&=&-\frac{mg}{\gamma}+\frac{mg}{\gamma}\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t)\right)\\&=&\frac{mg}{\gamma}\left(\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t)\right)-1\right).
[/mm]
Insgesamt: Menge aller Lösungen: [mm] \underline{\underline{\left\{ v(t)=\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t)\right)\left(C+\frac{mg}{\gamma}\right)-\frac{mg}{\gamma}|C\in\mathbb{R}\right\} }}.
[/mm]
So nun hat mir mal jemand gesagt, dass ich in meinem Endergebnis praktisch 2 Konstanten drin habe, einmal das C und dann steht da ja noch das [mm] t_0 [/mm] drin.
Ist das so? Muss man das [mm] t_0 [/mm] also weglassen und kommt dann praktisch zu der Lösung: [mm] v(t)=C\cdot exp(-\frac{\gamma}{m}t)-\frac{mg}{\gamma}?
[/mm]
Ich meine, wenn ich die letzte Lösung (mit nur einer Konstante) ableiten bzw. die Probe mache, passt das ja auch.
Muss man die Grenzen mit [mm] t_0 [/mm] nur beachten, wenn man eine konrete Anfangsbedingung gegeben hat?
Kann man also, wenn man eine solche nicht gegeben hat, einfach für die allgemeine Lösung schreiben: [mm] \varphi_{H}(x)&=&C\mbox{\cdot exp}\left(-\int\frac{\gamma}{m}dx\right), [/mm] also ein Unbestimmtes Integral ausrechnen (die Konstante hat man dann bereits durch das C hingeschrieben)?
Und wenn man eine Anfangsbedingugn gegeben hat, kann man dann auf das C bei der allgemeinen Lösung komplett verzichten, weil es sich praktisch durch das [mm] exp(...t_0) [/mm] ergibt? Wenn ja, wie macht man dann Variation der Konstanten, um die inhomogene Lösung zu bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 So 28.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie eine Lösung für
> [mm]\overset{\cdot}{v}(t)&=&-\frac{\gamma}{m}v(t)-g.[/mm]
> Hallo,
>
> wie man sowas ganz allgemein macht ist mir klar. Habe nur
> eine spezielle Frage. Hier mal meine Lösung:
>
> Lösung der homogenen Gleichung:
> [mm]\overset{\cdot}{v}(t)=-\frac{\gamma}{m}v(t).[/mm]
>
> [mm]\varphi_{H}(x)&=&C\mbox{\cdot exp}\left(-\int_{t_{0}}^{t}\frac{\gamma}{m}dx\right)\\&=&C\cdot\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t\right)[/mm]
>
> Lösung der inhomogenen Gleichung:
> [mm]\varphi_{I}(x)=C(x)\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t\right):[/mm]
>
> Mit Variation der Konstanten:
> [mm]C(x)&=&-\int_{t_{0}}^{t}g\cdot\exp\left(\int_{t_{0}}^{s}\frac{\gamma}{m}dt\right)\,[/mm]
> ds
> [mm]=\frac{-g}{\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0})\right)}\int_{t_{0}}^{t}\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}s\right)ds[/mm]
>
> [mm]=\frac{-mg}{\gamma}\cdot\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t-t_{0})\right)+\frac{mg}{\gamma}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\varphi_{I}(x)&=&\left[\frac{-mg}{\gamma}\cdot\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t-t_{0})\right)+\frac{mg}{\gamma}\right]\cdot\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t)\right)\\&=&-\frac{mg}{\gamma}+\frac{mg}{\gamma}\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t)\right)\\&=&\frac{mg}{\gamma}\left(\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t)\right)-1\right).[/mm]
>
> Insgesamt: Menge aller Lösungen:
> [mm]\underline{\underline{\left\{ v(t)=\mbox{exp}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}-t)\right)\left(C+\frac{mg}{\gamma}\right)-\frac{mg}{\gamma}|C\in\mathbb{R}\right\} }}.[/mm]
>
>
>
> So nun hat mir mal jemand gesagt, dass ich in meinem
> Endergebnis praktisch 2 Konstanten drin habe, einmal das C
> und dann steht da ja noch das [mm]t_0[/mm] drin.
> Ist das so?
Nein. Du kannst durch Umdefinition eine der beiden weglassen, z.B. [mm] $C'=C\mathop{\mathrm{exp}}\left(\frac{\gamma}{m}(t_{0}\right)$.
[/mm]
Du hast bei der Trennung der Variablen da stehen:
[mm] \bruch{dv}{v} = -\bruch{\gamma}{m} dt [/mm]
Entweder du integrierst unbestimmt, dann hast du eine Integrationskonstante $K$, woraus sich dein [mm] $C=e^K$ [/mm] ergibt. Oder du integriest mit Grenzen, dann musst du das aber auf beiden Seiten tun:
[mm] \integral_{v(t_0)}^{v(t)} \bruch{dv}{v} = -\bruch{\gamma}{m} (t-t_0) [/mm],
also
[mm] v(t) = v(t_0) \mathop{\mathrm{exp}}\left(-\frac{\gamma}{m}(t-t_{0}\right) [/mm] .
Dann steckt dort explizit als Anfangsbedingung der Wert der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] drin.
Viele Grüße
Rainer
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