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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 24.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
sind folgende Rechnungen richtig?
1) y'=x*y [mm] \Rightarrow y(x)=e^{ \bruch{x^{2}}{2}}*C [/mm] , C [mm] \in \IR
[/mm]
2) x*y'+y=2*ln(x) [mm] \Rightarrow y(x)=\bruch{C}{x}+2*ln(x)-2 [/mm] , C [mm] \in \IR
[/mm]
Danke fürs überprüfen
Kruder77
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Hallo,
> 1) y'=x*y [mm]\Rightarrow y(x)=e^{ \bruch{x^{2}}{2}}*C[/mm] , C
> [mm]\in \IR[/mm]
>
> 2) x*y'+y=2*ln(x) [mm]\Rightarrow y(x)=\bruch{C}{x}+2*ln(x)-2[/mm]
> , C [mm]\in \IR[/mm]
das stimmt alles.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Do 26.05.2005 | | Autor: | libero |
Hallo.
Ich hab mal eine allgemeine Frage zur zweiten Aufgabe. Wie löst man solche DGLs? Knobelt und probiert man hier, oder gibt es einen "roten Faden", an dem man sich entlanghangelt?
Verfahren wie Trennung der Variablen etc. sind mir bekannt, ich frage hier nur nach "komplizierteren" DGLs.
Gruß,
Michael
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Hi, Libero,
Es handelt sich hier um eine lineare DGL 1.Ordnung.
(1) Die schreibt man zunächst in der Form:
y' + g(x)*y = s(x)
(bei Dir also: y' + [mm] \bruch{1}{x}*y [/mm] = [mm] \bruch{2}{x}*ln(x).)
[/mm]
(2) Dann bestimmt man die allgemeine Lösung der zugehörigen homogen DGL, also von y' + g(x)*y = 0, durch folgenden Ansatz:
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] c*e^{-G(x)} [/mm] mit G(x) = [mm] \integral{g(x)dx}.
[/mm]
Bei Dir also: G(x) = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx} [/mm] = ln(x) (+konst.) für x > 0.
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] c*e^{-ln(x)} [/mm] = [mm] c*\bruch{1}{x}.
[/mm]
(3) Dann bestimmt man eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL, z.B. durch "Variation der Konstanten":
[mm] y_{s} [/mm] = [mm] c(x)*e^{-G(x)},
[/mm]
wobei dann c(x) = [mm] \integral{\bruch{s(x)}{e^{-G(x)}}dx},
[/mm]
bei Dir also: c(x) = [mm] \integral{\bruch{\bruch{2}{x}*ln(x)}{\bruch{1}{x}}dx} [/mm] = [mm] 2*\integral{ln(x)dx} [/mm] = 2*(-x + x*ln(x)) (+ konst.)
und somit: [mm] y_{s} [/mm] = 2*ln(x) - 2.
(4) Die allgemeine Lösung der DGL ist dann: y = [mm] y_{h} [/mm] + [mm] y_{s},
[/mm]
bei Dir: y = [mm] c*\bruch{1}{x} [/mm] + 2*ln(x) - 2.
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