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| Aufgabe | Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem
u^(4)-4u^(3)+15u''-22u'+10=0 |
Hallo zusammen,
bearbeite grade folgende Aufgabe aber ich weiß nicht wie ich diese DGL höherer Ordnung löse...
hab das jetzt erstmal umgeschrieben in:
[mm] \lambda^4 -4*\lambda^3 +15*\lambda^2 -22*\lambda [/mm] +10 = 0
hab dann eine nullstelle [mm] \lambda=1 [/mm] ausgerechnet aber komme nicht weiter..
kann mir vllt jemand weiterhelfen?
Danke schonmal!
Gruß,
Kampfkekschen
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Hallo,
> Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem
> u^(4)-4u^(3)+15u''-22u'+10=0
> Hallo zusammen,
>
> bearbeite grade folgende Aufgabe aber ich weiß nicht wie
> ich diese DGL höherer Ordnung löse...
>
> hab das jetzt erstmal umgeschrieben in:
> [mm]\lambda^4 -4 \lambda^3 +15*\lambda^2 -22*\lambda[/mm] +10 = 0
>
> hab dann eine nullstelle [mm]\lambda=1[/mm] ausgerechnet aber komme
> nicht weiter..
.. liegt vielleicht daran, dass deine Nullstellen falsch sind.
Um die Nullstellen zu berechnen musst du schreiben (analog wie bei zb bei Diffgl. 2. Ordung):
[mm] \lambda^{4}-4\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda=0
[/mm]
=> [mm] \lambda(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda+11)=0
[/mm]
Naja dann du hast mehrere Nullstellen:
[mm] \lambda_1=0
[/mm]
[mm] \lambda_2=2
[/mm]
[mm] \lambda_3=1+i\sqrt{10}
[/mm]
[mm] \lambda_4=1-i\sqrt{10}
[/mm]
anschließend errechnest du dir deine [mm] u_i(x)
[/mm]
also zb: für [mm] \lambda=0 [/mm] --> [mm] u_1(x)=c_1
[/mm]
deine allgemeine Lösung hat dann mal die Form:
[mm] u(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+u_4(x)
[/mm]
hast du diese dann berechnet, kannst du mit der Euler'schen Identität arbeiten [mm] e^{\alpha+i\beta}=e^{\alpha}cos{\beta}+ie^{\alpha}sin{\beta}
[/mm]
und nach einiger Umformarbeit nutzt du dann dein Wissen und schreibst:
[mm] u(x)=u_c(x)+u_p(x) [/mm] und setzt ein ;)
Grundsätzlich funktioniert dieses Bsp nach "Schema F".
Also am besten lies dir deine Unterlagen nochmal genauer durch.
Die Vorgangsweise lässt sich allerdings leichter bei einer Diffgl. 2. Ordnung erklären.
>
> kann mir vllt jemand weiterhelfen?
> Danke schonmal!
> Gruß,
> Kampfkekschen
LG Scherzkrapferl
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Hey Scherzkrapferl,
danke für deine schnelle Antwort! Habe allerdings noch eine frage:
wo ist bei deiner rechnung denn die +10 abgeblieben?
Die DGL lautet ja u^(4) -4*u^(3) +15 u'' -22u' +10u=0
und da bekomme ich doch dann [mm] \lambda^{4}-\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda [/mm] +10=0
oder sehe ich das falsch?
LG,
Kampfkekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> Hey Scherzkrapferl,
>
> danke für deine schnelle Antwort! Habe allerdings noch
> eine frage:
>
> wo ist bei deiner rechnung denn die +10 abgeblieben?
> Die DGL lautet ja u^(4) -4*u^(3) +15 u'' -22u' +10u=0
> und da bekomme ich doch dann
> [mm]\lambda^{4}-\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda[/mm] +10=0
>
Das ist nicht ganz korrekt:
[mm]\lambda^{4}-\blue{4}\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda +10=0[/mm]
> oder sehe ich das falsch?
>
> LG,
> Kampfkekschen
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Hey Scherzkrapferl,
>
> danke für deine schnelle Antwort! Habe allerdings noch
> eine frage:
>
> wo ist bei deiner rechnung denn die +10 abgeblieben?
> Die DGL lautet ja u^(4) -4*u^(3) +15 u'' -22u' +10u=0
> und da bekomme ich doch dann
> [mm]\lambda^{4}-\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda[/mm] +10=0
>
> oder sehe ich das falsch?
Du musst zuerst die homogene Diffgleichung lösen. Um die Inhomogenität musst du dich später kümmern.
die allgemeine Lösung besteht ja aus Homogener- und Partikulärlösung:
[mm] u(x)=u_h(x)+u_p(x)
[/mm]
>
> LG,
> Kampfkekschen
LG Scherzkrapferl
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Hallo Scherzkrapferl ,
also habe mir das "Schema F" noch einmal für eine DGL 2. Ordnung angesehen, jedoch stellt sich mir immer noch die Frage wieso meine DGL 4. Ordnung hier eine homogene und eine inhomogene Lösung hat.
Denn wenn ich die DGL 2. Ordnung u'' +13 u' +40u=0 betrachte dann berechne ich ja auch die Nullstellen von [mm] \lambda^2 +13*\lambda [/mm] +40=0 und nicht von der "homogenen" Gleichung [mm] \lambda^2 +13*\lambda
[/mm]
also müsste ich doch hier von meiner DGL 4. Ordnung [mm] u^{(4)} -4*u^{(3)}+15*u''-2u'+10*u=0 [/mm] auch die Nullstellen von [mm] \lambda^4 -4*\lambda^3 +15*\lambda^2-22*\lambda+10=0 [/mm] berechnen oder sehe ich das immer noch falsch?
LG,
Kampfkekschen
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Hallo,
> Hallo Scherzkrapferl ,
>
> also habe mir das "Schema F" noch einmal für eine DGL 2.
> Ordnung angesehen, jedoch stellt sich mir immer noch die
> Frage wieso meine DGL 4. Ordnung hier eine homogene und
> eine inhomogene Lösung hat.
>
> Denn wenn ich die DGL 2. Ordnung u'' +13 u' +40u=0
> betrachte dann berechne ich ja auch die Nullstellen von
> [mm]\lambda^2 +13*\lambda[/mm] +40=0 und nicht von der "homogenen"
> Gleichung [mm]\lambda^2 +13*\lambda[/mm]
>
> also müsste ich doch hier von meiner DGL 4. Ordnung
> [mm]u^{(4)} -4*u^{(3)}+15*u''-2u'+10*u=0[/mm] auch die Nullstellen
> von [mm]\lambda^4 -4*\lambda^3 +15*\lambda^2-22*\lambda+10=0[/mm]
> berechnen oder sehe ich das immer noch falsch?
>
Also 1.:
In deiner Angabe steht doch: u^(4)-4u^(3)+15u''-22u'+10=0 !
und nicht u^(4)-4u^(3)+15u''-22u'+10u=0
2.)
Schema einer Diffgl. 2. Ordnung mit Inhomogenität:
Gegeben sei eine Diffgl:
y''(x)+a_1y'(x)+a_2y(x)=s
Die Lösung hat stets die Gestalt: [mm] y=y_h+y_p
[/mm]
[mm] y_h [/mm] ... Homogene Lösung
[mm] y_p [/mm] ... Partikulärlösung
y ... die gesuchte Lösung des Problems
Um dieses Problem nun zu lösen, wollen wir aus 1. die homogene Gleichung
y''(x)+a_1y'(x)+a_2y(x)=0
lösen.
in diesem Falle folgt:
[mm] \lambda^2+a_1\lambda+a_2=0
[/mm]
daraus errechnen wir uns die homogene Lösung
[mm] y_h=C_1e^{\lambda_1*t}+C_2e^{\lambda_2*t}
[/mm]
Erst anschließend arbeiten wir mit deiner Inhomogenität s.
> LG,
> Kampfkekschen
LG Scherzkrapferl
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Oh tut mir leid das habe ich verbockt!! Habe in der aufgabenstellung einen Fehler eingebaut!! Sie sollte eigentlich
[mm] u^{(4)} -4\cdot{}u^{(3)}+15\cdot{}u''-2u'+10\cdot{}u=0 [/mm] lauten!
Kein Wunder, dass wir die ganze Zeit aneinander vorbei reden!! Tut mir leid!
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Hallo,
> Oh tut mir leid das habe ich verbockt!! Habe in der
> aufgabenstellung einen Fehler eingebaut!! Sie sollte
> eigentlich
> [mm]u^{(4)} -4\cdot{}u^{(3)}+15\cdot{}u''-2u'+10\cdot{}u=0[/mm]
> lauten!
> Kein Wunder, dass wir die ganze Zeit aneinander vorbei
> reden!! Tut mir leid!
>
Dann ist natülich [mm] \lambda^4-4\lambda^3+15\lambda^2-2\lambda+10=0 [/mm] korrekt.
Deine [mm] \lambda [/mm] jedoch "Falsch", bzw. hast du nicht alle berechnet.
[mm] \lambda_1=1
[/mm]
[mm] \lambda_2=1
[/mm]
[mm] \lambda_3=1+3i
[/mm]
[mm] \lambda_4=1-3i
[/mm]
LG Scherzkrapferl
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Danke für die Antwort.
Okay wenn nun also die Nullstellen lauten
[mm] \lambda_1= [/mm] 1
[mm] \lambda_2 [/mm] =1
[mm] \lambda_3 [/mm] =1+3i
[mm] \lambda_4 [/mm] =1-3i
Dann folgt
u(x)= [mm] c_1*e^x [/mm] + [mm] c_2*x*e^x +c_3*e^{(1+3i)x} +c_4*e^{(1-3i)*x}
[/mm]
= [mm] c_1*e^x [/mm] + [mm] c_2*x*e^x [/mm] + [mm] c_3*e^x*cos(3x) +c_4*e^x*sin(3x)
[/mm]
mit [mm] c_1,c_2,c_3,c_4 \in \IR
[/mm]
ist das nun so richtig?
Gruß,
Kampfkekschen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
>
> Okay wenn nun also die Nullstellen lauten
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] 1
> [mm]\lambda_2[/mm] =1
> [mm]\lambda_3[/mm] =1+3i
> [mm]\lambda_4[/mm] =1-3i
>
> Dann folgt
>
> u(x)= [mm]c_1*e^x[/mm] + [mm]c_2*x*e^x +c_3*e^{(1+3i)x} +c_4*e^{(1-3i)*x}[/mm]
>
> = [mm]c_1*e^x[/mm] + [mm]c_2*x*e^x[/mm] + [mm]c_3*e^x*cos(3x) +c_4*e^x*sin(3x)[/mm]
>
> mit [mm]c_1,c_2,c_3,c_4 \in \IR[/mm]
> ist das nun so richtig?
Ja
FRED
> Gruß,
> Kampfkekschen
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