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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgende DGL die allgemeine Lösung
[mm] y^{(7)}+2*y^{(6)}+4*y^{(5)}+8*y{(4)}= e^{-t} [/mm] |
Hallo zusammen,
bearbeite grade folgende Aufgabe und es wäre toll wenn jemand vllt mal drüber gucken könnte ob ich einen Fehler gemacht habe:
zuerst die homogene lösung bestimmen:
[mm] \lambda^7 +2*\lambda^6 +4*\lambda^5+8*\lambda^4=0
[/mm]
[mm] =\lambda^4 (\lambda^3+2*\lambda^2+4*\lambda+8)=0
[/mm]
=> [mm] \lambda^4=0 \vee (\lambda^3+2*\lambda^2+4*\lambda+8)=0
[/mm]
=> [mm] \lambda^4=0 [/mm] daraus folgt vierfache NST [mm] \lambda [/mm] =0
=> [mm] (\lambda^3+2*\lambda^2+4*\lambda+8)=0
[/mm]
NST: [mm] \lambda= [/mm] -2 ; [mm] \lambda=2i [/mm] ; [mm] \lambda=-2i
[/mm]
Daraus folgt die allgemeine homogene Lösung
[mm] y_h(x)= c_1 +c_2*x [/mm] + [mm] c_3*x^2 +c_4*x^3 +c_5*e^{-2x} [/mm] + [mm] c_6*e^{2ix} +c_7*e^{-2ix} [/mm]
als reelle allgemeine homogene Lösung:
[mm] y_h(x)= c_1 +c_2*x [/mm] + [mm] c_3*x^2 +c_4*x^3 +c_5*e^{-2x}+ c_6*cos(2x)+ c_7*sin(2x)
[/mm]
inhomogene Lösung bestimmen:
Ansatz [mm] y_{inh}= Ae^{-t}
[/mm]
das jetzt 7 mal ableiten und in die DGL einsetzen:
=> [mm] -Ae^{-t} +2*Ae^{-t}+4*(-Ae^{-t})+8*Ae^{-t}=e^{-t}
[/mm]
=>5A=1
=> A= [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
allgemeine Lösung:
y(x)= [mm] c_1 +c_2*x [/mm] + [mm] c_3*x^2 +c_4*x^3 +c_5*e^{-2x}+ c_6*cos(2x)+ c_7*sin(2x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} *e^{-t}
[/mm]
ist das so richtig?
Danke schonmal fürs korrigieren
Gruß,
Kampfkekschen
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> Bestimmen Sie für die folgende DGL die allgemeine Lösung
> [mm]y^{(7)}+2*y^{(6)}+4*y^{(5)}+8*y{(4)}= e^{-t}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> bearbeite grade folgende Aufgabe und es wäre toll wenn
> jemand vllt mal drüber gucken könnte ob ich einen Fehler
> gemacht habe:
>
> zuerst die homogene lösung bestimmen:
> [mm]\lambda^7 +2*\lambda^6 +4*\lambda^5+8*\lambda^4=0[/mm]
>
> [mm]=\lambda^4 (\lambda^3+2*\lambda^2+4*\lambda+8)=0[/mm]
> =>
> [mm]\lambda^4=0 \vee (\lambda^3+2*\lambda^2+4*\lambda+8)=0[/mm]
> =>
> [mm]\lambda^4=0[/mm] daraus folgt vierfache NST [mm]\lambda[/mm] =0
>
> => [mm](\lambda^3+2*\lambda^2+4*\lambda+8)=0[/mm]
> NST: [mm]\lambda=[/mm] -2 ; [mm]\lambda=2i[/mm] ; [mm]\lambda=-2i[/mm]
>
> Daraus folgt die allgemeine homogene Lösung
> [mm]y_h(x)= c_1 +c_2*x[/mm] + [mm]c_3*x^2 +c_4*x^3 +c_5*e^{-2x}[/mm] +
> [mm]c_6*e^{2ix} +c_7*e^{-2ix}[/mm]
>
> als reelle allgemeine homogene Lösung:
> [mm]y_h(x)= c_1 +c_2*x[/mm] + [mm]c_3*x^2 +c_4*x^3 +c_5*e^{-2x}+ c_6*cos(2x)+ c_7*sin(2x)[/mm]
>
hallo,
der störterm als funktion von t suggeriert, dass die ableitungen nach t - nicht nach x - sind. sonst wär der störterm eine konstante für x.
das also noch ändern. ansonsten alles richtig
> inhomogene Lösung bestimmen:
> Ansatz [mm]y_{inh}= Ae^{-t}[/mm]
> das jetzt 7 mal ableiten und in
> die DGL einsetzen:
>
> => [mm]-Ae^{-t} +2*Ae^{-t}+4*(-Ae^{-t})+8*Ae^{-t}=e^{-t}[/mm]
>
> =>5A=1
> => A= [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> allgemeine Lösung:
>
>
>
> y(x)= [mm]c_1 +c_2*x[/mm] + [mm]c_3*x^2 +c_4*x^3 +c_5*e^{-2x}+ c_6*cos(2x)+ c_7*sin(2x)[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{5} *e^{-t}[/mm]
>
> ist das so richtig?
> Danke schonmal fürs korrigieren
>
> Gruß,
> Kampfkekschen
>
gruß tee
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Oh stimmt da stand ja ein t und kein x! Danke für die Anmerkung! :)
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