DGL mit Anfangsbedingungen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die La-Place-Transformierte von I2(p) |
Hallo liebes Forum,
ich habe eine Schaltung, bei der mit Hilfe der La-Place-Transformation I2(p) berechnet werden soll
Die Schaltung sieht in Maschen dargestellt wie folgt aus:
I. U0 = UR1 + UC
II. UC = UR2 + UL
Es gilt: C = 1F; R1 = R2 = 1 Ohm; L = 1H, U0 = 10V
Zu beachten ist nun, dass der Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 aufgeladen ist auf UC(0) = 5V und somit eine Anfangsbedingung darstellt.
Ich kann dies also nur mit der LaPlace-Transformation lösen, welche ich nach i2(t) aufgestellt habe, weil ja laut Fragestellung I2(p) berechnet werden soll.
Sie lautet:
U0 = R1C1* [mm] \bruch{d^{2}i2(t)}{dt^{2}} [/mm] + (R1R2C+L)* [mm] \bruch{di2(t)}{dt} [/mm] + (R1+R2)*i2(t)
Da ich ja die Werte von R, C und L kenne kann ich ja die DGL vereinfachen:
U0 = [mm] \bruch{d^{2}i2(t)}{dt^{2}} [/mm] + [mm] 2*\bruch{di2(t)}{dt} [/mm] + 2*i2(t)
Nun muss ich für die Transformation die Anfangsbedingung UC(0) = 5V berücksichtigen.
Meine Frage lautet nun: Wie kann ich in der oberen DGL meine Anfangsbedingung berücksichtigen, wenn die DGL nach i2(t) aufgestellt wurde und meine Anfangsbedingung aber UC betrifft?
Anders gefragt:
Wenn ich die DGL nach UC aufstelle, dann kann ich die Anfangsbedingung bei der Transformation ohne Probleme berücksichtigen. Wie gelange ich dann aber wieder auf I2(p), was ich ja laut Fragestellung berechnen soll?
Ich würde mich riesig freuen, wenn mir da jemanden weiterhelfen kann
Vielen Dank vorab
Manuel
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Hallo Parvesh3003,
> Berechnen Sie die La-Place-Transformierte von I2(p)
> Hallo liebes Forum,
>
> ich habe eine Schaltung, bei der mit Hilfe der
> La-Place-Transformation I2(p) berechnet werden soll
>
> Die Schaltung sieht in Maschen dargestellt wie folgt aus:
>
> I. U0 = UR1 + UC
>
> II. UC = UR2 + UL
>
> Es gilt: C = 1F; R1 = R2 = 1 Ohm; L = 1H, U0 = 10V
>
> Zu beachten ist nun, dass der Kondensator zum Zeitpunkt t =
> 0 aufgeladen ist auf UC(0) = 5V und somit eine
> Anfangsbedingung darstellt.
>
> Ich kann dies also nur mit der LaPlace-Transformation
> lösen, welche ich nach i2(t) aufgestellt habe, weil ja
> laut Fragestellung I2(p) berechnet werden soll.
> Sie lautet:
>
> U0 = R1C1* [mm]\bruch{d^{2}i2(t)}{dt^{2}}[/mm] + (R1R2C+L)*
> [mm]\bruch{di2(t)}{dt}[/mm] + (R1+R2)*i2(t)
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]U0 = R1\blue{C}\red{L}* \bruch{d^{2}i2(t)}{dt^{2}} + (R1R2C+L)*
\bruch{di2(t)}{dt} + (R1+R2)*i2(t)[/mm]
>
> Da ich ja die Werte von R, C und L kenne kann ich ja die
> DGL vereinfachen:
>
> U0 = [mm]\bruch{d^{2}i2(t)}{dt^{2}}[/mm] + [mm]2*\bruch{di2(t)}{dt}[/mm] +
> 2*i2(t)
>
> Nun muss ich für die Transformation die Anfangsbedingung
> UC(0) = 5V berücksichtigen.
>
> Meine Frage lautet nun: Wie kann ich in der oberen DGL
> meine Anfangsbedingung berücksichtigen, wenn die DGL nach
> i2(t) aufgestellt wurde und meine Anfangsbedingung aber UC
> betrifft?
>
> Anders gefragt:
> Wenn ich die DGL nach UC aufstelle, dann kann ich die
> Anfangsbedingung bei der Transformation ohne Probleme
> berücksichtigen. Wie gelange ich dann aber wieder auf
> I2(p), was ich ja laut Fragestellung berechnen soll?
>
Schreibe die 2. Gleichung geeignet um,
d.h. so dass der gesuchte Strom und die
vorgegebene Spannung am Kondensator
in der Gleichung vorhanden ist.
Wende dann darauf die Laplace-Transformation an.
Löse dann auf nach I2(0).
Bei einer DGL 2. Ordnung benötigst Du,
um diese eindeutig lösen zu könnnen, 2 Anfangsbedingungen.
Demnach fehlt noch eine Anfangsbedingung.
> Ich würde mich riesig freuen, wenn mir da jemanden
> weiterhelfen kann
>
> Vielen Dank vorab
>
> Manuel
>
Gruss
MathePower
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Hallo
Danke für deine Antwort.
Welche zweite Gleichung meinst du denn jetzt genau?
Meinst du die von ganz oben
II. UC = UR2 + UL ?
Wenn ja müsste ich diese dann nicht mindestens einmal ableiten, um die Anfangsbedingung einbauen zu können, da ja UC(t) transformiert einfach UC(p) wäre und sich keine Anfangsbedingung einbauen liese.
Die zweite Anfangsbedingung ist nicht gegeben, daher = 0 nehme ich an.
Gruß
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Hallo Parvesh3003,
> Hallo
>
> Danke für deine Antwort.
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> Welche zweite Gleichung meinst du denn jetzt genau?
> Meinst du die von ganz oben
> II. UC = UR2 + UL ?
>
Ja.
> Wenn ja müsste ich diese dann nicht mindestens einmal
> ableiten, um die Anfangsbedingung einbauen zu können, da
> ja UC(t) transformiert einfach UC(p) wäre und sich keine
> Anfangsbedingung einbauen liese.
> Die zweite Anfangsbedingung ist nicht gegeben, daher = 0
> nehme ich an.
>
Wenn Du die angesprochene 2. Gleichung betrachtest,
dann hast Du
[mm]U_{C}=R_{2}*I_{2}+L*\bruch{dI_{2}}{dt}[/mm]
Wird die Anfangsbedingung hier eingesetzt,
so ergibt sich:
[mm]U_{C}\left(0\right)=R_{2}*I_{2}\left(0\right)+L*\left \bruch{dI_{2}}{dt}\right|_{t=0}[/mm]
Hier kannst Du nur eine Größe mit Hilfe der jeweils anderen ausdrücken:
[mm]\left \bruch{dI_{2}}{dt}\right|_{t=0}=\bruch{1}{L}\left(U_{C}\left(0\right)-R_{2}*I_{2}\left(0\right)\right)[/mm]
,wobei hier die Anfangsbedingung [mm]I_{2}\left(0\right)[/mm] frei wählbar ist.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo
danke für deine Antwort.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann nehme ich jetzt den Ausdruck
$ [mm] \left \bruch{dI_{2}}{dt}\right|_{t=0}=\bruch{1}{L}\left(U_{C}\left(0\right)-R_{2}\cdot{}I_{2}\left(0\right)\right) [/mm] $
und transformiere den einfach in den Bildbereich nachdem ich meine Werte eingesetzt habe?
Also so:
[mm] \bruch{dI_{2}}{dt}\ [/mm] = [mm] \bruch{5}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1*I_2(0)}{1}
[/mm]
[mm] \bruch{dI_{2}}{dt}\ [/mm] + [mm] I_2(0) [/mm] = 5
transformiert ergibt dies:
[mm] I_2(p) [/mm] * p + [mm] I_2(p) [/mm] = [mm] 5*\bruch{1}{p}
[/mm]
[mm] I_2(p) [/mm] = [mm] \bruch{5}{p(1+p)}
[/mm]
Das wäre ja dann das Ergebnis, da ja nach der La-Place Transformierten von [mm] I_2(p) [/mm] gefragt wurde.
Wenn ich das zurücktransformieren würde nach [mm] i_2(t) [/mm] bekomme ich
[mm] i_2(t) [/mm] = [mm] 5-5e^{-t}
[/mm]
Das würde ja passen mit meiner Schaltung, weil
für t gegen 0 wird [mm] i_2(o) [/mm] = 0A
für t gegen [mm] \infty [/mm] wird [mm] i_2(t) [/mm] = 5A
Hab ich das dann so richtig gemacht? Wenn ja was ist dann mit meiner gesamten DGL eigentlich? Muss ich die dann gar nicht soweit aufstellen wie ich das anfangs gemacht hatte?
Gruß
Manuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Sa 20.06.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Manuel,
die Auflösung sieht gut aus und Du hast bei diesen Gleichungen einfach ausgenutzt, dass der Strom durch den Kondensator das Koppelglied zwischen den beiden Maschen ist. Das sieht man ja auch an Deinen ursprünglichen Maschengleichungen, in denen beide Male die Kondensatorspannung vorkommt.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Parvesh3003,
> Hallo
>
> danke für deine Antwort.
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann nehme ich
> jetzt den Ausdruck
>
> [mm]\left \bruch{dI_{2}}{dt}\right|_{t=0}=\bruch{1}{L}\left(U_{C}\left(0\right)-R_{2}\cdot{}I_{2}\left(0\right)\right)[/mm]
>
> und transformiere den einfach in den Bildbereich nachdem
> ich meine Werte eingesetzt habe?
Zunächst transformierst Du ja die gesamte DGL in den Bildbereich.
Dabei berücksichtigst Du die Anfangsbedingungen. Da Du aber keine
zweite Anfangsbedingung hast, ersetzt Du dann obiges:
[mm]\left \bruch{dI_{2}}{dt}\right|_{t=0}=\bruch{1}{L}\left(U_{C}\left(0\right)-R_{2}\cdot{}I_{2}\left(0\right)\right)[/mm]
Wenn die zweite Ableitung von [mm]I_{2}[/mm] in
den Bildbereich transformiert wird, dann sieht das so aus:
[mm]p^{2}*I_{2}\left(p\right)-pI_{2}\left(0\right)-\blue{\left \bruch{dI_{2}}{dt}\right|_{t=0}}[/mm]
[mm]=p^{2}*I_{2}\left(p\right)-pI_{2}\left(0\right)-\blue{\bruch{1}{L}\left(U_{C}\left(0\right)-R_{2}\cdot{}I_{2}\left(0\right)\right)}[/mm]
> Also so:
>
> [mm]\bruch{dI_{2}}{dt}\[/mm] = [mm]\bruch{5}{1}[/mm] - [mm]\bruch{1*I_2(0)}{1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dI_{2}}{dt}\[/mm] + [mm]I_2(0)[/mm] = 5
>
> transformiert ergibt dies:
>
> [mm]I_2(p)[/mm] * p + [mm]I_2(p)[/mm] = [mm]5*\bruch{1}{p}[/mm]
>
> [mm]I_2(p)[/mm] = [mm]\bruch{5}{p(1+p)}[/mm]
>
> Das wäre ja dann das Ergebnis, da ja nach der La-Place
> Transformierten von [mm]I_2(p)[/mm] gefragt wurde.
>
> Wenn ich das zurücktransformieren würde nach [mm]i_2(t)[/mm]
> bekomme ich
>
> [mm]i_2(t)[/mm] = [mm]5-5e^{-t}[/mm]
>
> Das würde ja passen mit meiner Schaltung, weil
> für t gegen 0 wird [mm]i_2(o)[/mm] = 0A
> für t gegen [mm]\infty[/mm] wird [mm]i_2(t)[/mm] = 5A
>
> Hab ich das dann so richtig gemacht? Wenn ja was ist dann
> mit meiner gesamten DGL eigentlich? Muss ich die dann gar
> nicht soweit aufstellen wie ich das anfangs gemacht hatte?
>
> Gruß
>
> Manuel
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Gruss
MathePower
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