DGL mit Potenzreihen Ansatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Mit Hilfe eines Potenzreihen Ansatzes ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung in der Nähe des Nullpunktes gesucht:
y''+3xy'+3y =0 mit y(0) = [mm] C_{0} [/mm] und [mm] y'(0)=c_{1}
[/mm]
Wie gross ist der Konvergenzradius? |
Hallo zusammen
Start ist mir noch klar:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} n(n-1)*a_{n}*x^{n-2} [/mm] + [mm] 3x*\summe_{n=1}^{\infty}n*a_{n}*x^{n-1} [/mm] + [mm] 3*\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*x^{n}
[/mm]
=
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} n(n-1)*a_{n}*x^{n-2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}3*n*a_{n}*x^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}3*a_{n}*x^{n}
[/mm]
erste Summe: l = n-2
zweite und dritte summe: n=l
=
[mm] \summe_{l=0}^{\infty}(l+2)(l+1)*a_{l+2}*x^{l} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}3l*a_{l}*x^{l} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}3*a_{l}*x^{l}
[/mm]
Bemerkung: summe zwei kann ich von null bis unendlich machen, da bei n=0 [mm] 3l*a_{l}*x^{l} [/mm] gerade 0 wird
=
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}[(l+2)(l+1)*a_{l+2}+3l*a_{l}+3*a_{l}]*x^{l} [/mm] = 0
durch [mm] x^{l} [/mm] dividieren
=
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(l+2)(l+1)*a_{l+2}+3l*a_{l}+3*a_{l} [/mm] = 0
nach [mm] a_{l+2} [/mm] aufgelösen:
=
[mm] a_{l+2}=\bruch{-3l*a_{l}-3*a_{l}}{(l+2)(l+1)}
[/mm]
=
[mm] a_{l+2}=\bruch{-3*a_{l}(l+1)}{(l+2)(l+1)}
[/mm]
=
[mm] a_{l+2}=\bruch{-3*a_{l}}{(l+2)} [/mm] --> meine Rekursionsbeziehung
bis hier, bin ich mir eigenlich sehr sicher
So, daraus soll nun der Allgemeine Ausdruck enstehen.
Ich erwarte zwei Lösungen --> eine mit den geraden n, eine mit den ungeraden
--> ab hier bin ich etwas am stocken. Trotzdem:
für l=0: [mm] a_{2}=\bruch{-3a_{0}}{2}
[/mm]
für l=2: [mm] a_{4}=\bruch{-3a_{2}}{4}
[/mm]
für l=4: [mm] a_{6}=\bruch{-3a_{4}}{6}
[/mm]
für l=2n: [mm] a_{2n+2}=\bruch{-3a_{2n}}{2n+2}
[/mm]
so, und nun wird definiv holprig:
ich soll jetzt die Ausdrücke links vom = und die rechts vom = jeweils multiplizieren und dann kürzen:
[mm] a_{2}*a_{4}*a_{6}*a_{2n}*a_{2n+2}*...=\bruch{(-3)^{Hilfe}*a_{0}*a_{2}*a_{4}*a_{2n}}{2*4*6+(2n+2)}
[/mm]
und daraus soll ich jetzt das allgemeine glied herstellen. Und da ist jetzt ende Fahnenstang bei mir. Wo setzte ich als nächstes an?
ah ja, im Nenner kann ich noch zwei hoch irgendwas ausklammern --> [mm] 2^{hilfe}(1*2*3*(n+1)) [/mm] --> muss doch irgendwie als Fakultät zu schreiben sein?
lieber gruess, Tobi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Mo 06.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tobi!
> Mit Hilfe eines Potenzreihen Ansatzes ist die allgemeine
> Lösung der Differentialgleichung in der Nähe des
> Nullpunktes gesucht:
> y''+3xy'+3y =0 mit y(0) = [mm]C_{0}[/mm] und [mm]y'(0)=c_{1}[/mm]
> Wie gross ist der Konvergenzradius?
> Hallo zusammen
>
> Start ist mir noch klar:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} n(n-1)*a_{n}*x^{n-2}[/mm] +
> [mm]3x*\summe_{n=1}^{\infty}n*a_{n}*x^{n-1}[/mm] +
> [mm]3*\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*x^{n}[/mm]
>
> =
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} n(n-1)*a_{n}*x^{n-2}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}3*n*a_{n}*x^{n}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3*a_{n}*x^{n}[/mm]
>
> erste Summe: l = n-2
> zweite und dritte summe: n=l
>
> =
>
> [mm]\summe_{l=0}^{\infty}(l+2)(l+1)*a_{l+2}*x^{l}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3l*a_{l}*x^{l}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3*a_{l}*x^{l}[/mm]
Allerdings musst du unter der zweiten und dritten Summe auch l statt n schreiben, genauso weiter unten.
> Bemerkung: summe zwei kann ich von null bis unendlich
> machen, da bei n=0 [mm]3l*a_{l}*x^{l}[/mm] gerade 0 wird
>
> =
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[(l+2)(l+1)*a_{l+2}+3l*a_{l}+3*a_{l}]*x^{l} = 0[/mm]
> = 0
>
> durch [mm]x^{l}[/mm] dividieren
Sorry, aber das ist Unsinn. Hier wird nix dividiert, sondern die Tatsache benutzt, dass eine konvergente Potenzreihe nur dann 0 ist, wenn jeder Koeffizient 0 ist.
> =
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(l+2)(l+1)*a_{l+2}+3l*a_{l}+3*a_{l}[/mm] =
> 0
Da ist das Summenzeichen zu viel.
> nach [mm]a_{l+2}[/mm] aufgelösen:
>
> =
>
> [mm]a_{l+2}=\bruch{-3l*a_{l}-3*a_{l}}{(l+2)(l+1)}[/mm]
>
> =
>
> [mm]a_{l+2}=\bruch{-3*a_{l}(l+1)}{(l+2)(l+1)}[/mm]
>
> =
>
> [mm]a_{l+2}=\bruch{-3*a_{l}}{(l+2)}[/mm] --> meine
> Rekursionsbeziehung
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bis hier, bin ich mir eigenlich sehr sicher
>
> So, daraus soll nun der Allgemeine Ausdruck enstehen.
> Ich erwarte zwei Lösungen --> eine mit den geraden n, eine
> mit den ungeraden
> --> ab hier bin ich etwas am stocken. Trotzdem:
>
> für l=0: [mm]a_{2}=\bruch{-3a_{0}}{2}[/mm]
> für l=2: [mm]a_{4}=\bruch{-3a_{2}}{4}[/mm]
> für l=4: [mm]a_{6}=\bruch{-3a_{4}}{6}[/mm]
> für l=2n: [mm]a_{2n+2}=\bruch{-3a_{2n}}{2n+2}[/mm]
>
> so, und nun wird definiv holprig:
>
> ich soll jetzt die Ausdrücke links vom = und die rechts vom
> = jeweils multiplizieren und dann kürzen:
>
> [mm]a_{2}*a_{4}*a_{6}*a_{2n}*a_{2n+2}*...=\bruch{(-3)^{Hilfe}*a_{0}*a_{2}*a_{4}*a_{2n}}{2*4*6+(2n+2)}[/mm]
>
> und daraus soll ich jetzt das allgemeine glied herstellen.
> Und da ist jetzt ende Fahnenstang bei mir. Wo setzte ich
> als nächstes an?
>
> ah ja, im Nenner kann ich noch zwei hoch irgendwas
> ausklammern --> [mm]2^{hilfe}(1*2*3*(n+1))[/mm] --> muss doch
> irgendwie als Fakultät zu schreiben sein?
Wieviele Terme hast du denn da miteinander multipliziert, das kannst du doch einfach nachzählen. Links sind es offensichtlich $(n+1)$ Faktoren. Also hast du
[mm] a_{2(n+1)} = \bruch{(-3)^{n+1} a_0}{2^{n+1} (n+1)!} [/mm]
oder
[mm] a_{2n} = \bruch{(-3)^{n} }{2^{n} n!} a_0 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
> Hallo Tobi!
>
> > Mit Hilfe eines Potenzreihen Ansatzes ist die allgemeine
> > Lösung der Differentialgleichung in der Nähe des
> > Nullpunktes gesucht:
> > y''+3xy'+3y =0 mit y(0) = [mm]C_{0}[/mm] und [mm]y'(0)=c_{1}[/mm]
> > Wie gross ist der Konvergenzradius?
> > Hallo zusammen
> >
> > Start ist mir noch klar:
> >
> > [mm]\summe_{n=2}^{\infty} n(n-1)*a_{n}*x^{n-2}[/mm] +
> > [mm]3x*\summe_{n=1}^{\infty}n*a_{n}*x^{n-1}[/mm] +
> > [mm]3*\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*x^{n}[/mm]
> >
> > =
> >
> > [mm]\summe_{n=2}^{\infty} n(n-1)*a_{n}*x^{n-2}[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}3*n*a_{n}*x^{n}[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3*a_{n}*x^{n}[/mm]
> >
> > erste Summe: l = n-2
> > zweite und dritte summe: n=l
> >
> > =
> >
> > [mm]\summe_{l=0}^{\infty}(l+2)(l+1)*a_{l+2}*x^{l}[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3l*a_{l}*x^{l}[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3*a_{l}*x^{l}[/mm]
>
> Allerdings musst du unter der zweiten und dritten Summe
> auch l statt n schreiben, genauso weiter unten.
>
> > Bemerkung: summe zwei kann ich von null bis unendlich
> > machen, da bei n=0 [mm]3l*a_{l}*x^{l}[/mm] gerade 0 wird
> >
> > =
> >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[(l+2)(l+1)*a_{l+2}+3l*a_{l}+3*a_{l}]*x^{l} = 0[/mm]
> > = 0
> >
> > durch [mm]x^{l}[/mm] dividieren
>
> Sorry, aber das ist Unsinn. Hier wird nix dividiert,
> sondern die Tatsache benutzt, dass eine konvergente
> Potenzreihe nur dann 0 ist, wenn jeder Koeffizient 0 ist.
>
> > =
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(l+2)(l+1)*a_{l+2}+3l*a_{l}+3*a_{l}[/mm] =
> > 0
>
> Da ist das Summenzeichen zu viel.
>
>
>
> > nach [mm]a_{l+2}[/mm] aufgelösen:
> >
> > =
> >
> > [mm]a_{l+2}=\bruch{-3l*a_{l}-3*a_{l}}{(l+2)(l+1)}[/mm]
> >
> > =
> >
> > [mm]a_{l+2}=\bruch{-3*a_{l}(l+1)}{(l+2)(l+1)}[/mm]
> >
> > =
> >
> > [mm]a_{l+2}=\bruch{-3*a_{l}}{(l+2)}[/mm] --> meine
> > Rekursionsbeziehung
>
>
>
> > bis hier, bin ich mir eigenlich sehr sicher
> >
> > So, daraus soll nun der Allgemeine Ausdruck enstehen.
> > Ich erwarte zwei Lösungen --> eine mit den geraden n,
> eine
> > mit den ungeraden
>
>
>
> > --> ab hier bin ich etwas am stocken. Trotzdem:
> >
> > für l=0: [mm]a_{2}=\bruch{-3a_{0}}{2}[/mm]
> > für l=2: [mm]a_{4}=\bruch{-3a_{2}}{4}[/mm]
> > für l=4: [mm]a_{6}=\bruch{-3a_{4}}{6}[/mm]
> > für l=2n: [mm]a_{2n+2}=\bruch{-3a_{2n}}{2n+2}[/mm]
> >
> > so, und nun wird definiv holprig:
> >
> > ich soll jetzt die Ausdrücke links vom = und die rechts vom
> > = jeweils multiplizieren und dann kürzen:
> >
> >
> [mm]a_{2}*a_{4}*a_{6}*a_{2n}*a_{2n+2}*...=\bruch{(-3)^{Hilfe}*a_{0}*a_{2}*a_{4}*a_{2n}}{2*4*6+(2n+2)}[/mm]
> >
> > und daraus soll ich jetzt das allgemeine glied herstellen.
> > Und da ist jetzt ende Fahnenstang bei mir. Wo setzte ich
> > als nächstes an?
> >
> > ah ja, im Nenner kann ich noch zwei hoch irgendwas
> > ausklammern --> [mm]2^{hilfe}(1*2*3*(n+1))[/mm] --> muss doch
> > irgendwie als Fakultät zu schreiben sein?
>
> Wieviele Terme hast du denn da miteinander multipliziert,
> das kannst du doch einfach nachzählen. Links sind es
> offensichtlich [mm](n+1)[/mm] Faktoren.
Ich schaue wohl an die falsche Stelle. Irgendwie sehe ich diese (n+1) einfach nicht.
woher siehst du diese (n+1)?
ich habe mir 4 Terme aufgeschrieben. Hätte aber auch noch beliebig weitere dazu nehmen können...
>
> [mm]a_{2(n+1)} = \bruch{(-3)^{n+1} a_0}{2^{n+1} (n+1)!}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]a_{2n} = \bruch{(-3)^{n} }{2^{n} n!} a_0[/mm]
>
da kann ich einfach (n+1) = n setzen? um "schönen" Ausdruck zu erhalten?
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> > > für l=0: [mm]a_{2}=\bruch{-3a_{0}}{2}[/mm]
> > > für l=2: [mm]a_{4}=\bruch{-3a_{2}}{4}[/mm]
> > > für l=4: [mm]a_{6}=\bruch{-3a_{4}}{6}[/mm]
> > > für l=2n: [mm]a_{2n+2}=\bruch{-3a_{2n}}{2n+2}[/mm]
> > >
> > > ich soll jetzt die Ausdrücke links vom = und die rechts vom
> > > = jeweils multiplizieren und dann kürzen:
> > >
> > > [mm]a_{2}*a_{4}*a_{6}*a_{2n}*a_{2n+2}*...=\bruch{(-3)^{Hilfe}*a_{0}*a_{2}*a_{4}*a_{2n}}{2*4*6+(2n+2)}[/mm]
> > >
> > > und daraus soll ich jetzt das allgemeine glied herstellen.
> > > Und da ist jetzt ende Fahnenstang bei mir. Wo setzte ich
> > > als nächstes an?
> > Wieviele Terme hast du denn da miteinander multipliziert,
> > das kannst du doch einfach nachzählen. Links sind es
> > offensichtlich [mm](n+1)[/mm] Faktoren.
> Ich schaue wohl an die falsche Stelle. Irgendwie sehe ich
> diese (n+1) einfach nicht.
> woher siehst du diese (n+1)?
Schreib den Term von oben mal etwas genauer hin:
[mm]a_{2}*a_{4}*a_{6}*...*a_{2n}*a_{2n+2}=\bruch{(-3)^{n+1}*a_{0}*a_{2}*a_{4}*...*a_{2n}}{2*4*6*...*(2n+2)}[/mm]
Du hast also alle diese Ausdrücke [mm] $a_{2l}$ [/mm] von $l=0,1,...,n$ multipliziert, das sind $n+1$ Stück. Jetzt teilst du noch auf beiden seiten durch [mm] $a_2*a_4*...*a_{2n}$ [/mm] und dann hast dus.
> > [mm]a_{2(n+1)} = \bruch{(-3)^{n+1} a_0}{2^{n+1} (n+1)!}[/mm]
> > oder
> > [mm]a_{2n} = \bruch{(-3)^{n} }{2^{n} n!} a_0[/mm]
> >
> da kann ich einfach (n+1) = n setzen? um "schönen" Ausdruck
> zu erhalten?
Ja. Formal gesehen substituiert man dazu mit einer Hilfsvariablen, z.B. $k:=n+1$ und erhält
[mm]a_{2k} = \bruch{(-3)^{k} }{2^{k} k!} a_0[/mm], aber das ist ja dasselbe. Beachte aber, dass diese Formel nun nur für [mm] $k\ge [/mm] 1$ gilt.
Gruß, Robert
|
|
|
|
