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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL mit Substitution lösen
DGL mit Substitution lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL mit Substitution lösen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Di 05.07.2011
Autor: BarneyS

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
$ [mm] 4x^2y'=4y^2+x^2$ [/mm] Hinweis : Isolieren Sie y' und lösen Sie mittels geeigneter Substitution.

$ y' = [mm] \bruch{y^2}{x^2}+\bruch{1}{4} [/mm] $ (*)

Ich wähle als Substitution: $ z = [mm] \bruch{y}{x} \gdw [/mm] y = zx [mm] \Rightarrow [/mm] y'=xz'+x $

In (*) eingesetzt:

$xz' + [mm] z=z^2+\bruch{1}{4} [/mm] $

Leider ist die DGL nicht separabel und nicht linear.

Wie geht's jetzt weiter, oder ist die Substitution nicht die richtig?
        
Bezug
DGL mit Substitution lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Di 05.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung.
>  [mm]4x^2y'=4y^2+x^2[/mm] Hinweis : Isolieren Sie y' und lösen Sie
> mittels geeigneter Substitution.
>  [mm]y' = \bruch{y^2}{x^2}+\bruch{1}{4}[/mm] (*)     [ok]
>  
> Ich wähle als Substitution: [mm]z = \bruch{y}{x} \gdw y = zx \Rightarrow y'=xz'+x[/mm]   [notok]

(Verwechslung bei Anwendung der Produktregel)
  
> In (*) eingesetzt:
>  
> [mm]xz' + z=z^2+\bruch{1}{4}[/mm]    [ok]

hier stimmt's wunderbarerweise wieder ...
  
> Leider ist die DGL nicht separabel   [notok]   und nicht linear.

Sie ist eindeutig separabel !
  
> Wie geht's jetzt weiter, oder ist die Substitution nicht
> die richtig?

(beachte in der Folge noch das Auftreten eines
schönen binomischen Terms !)

LG   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
DGL mit Substitution lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Di 05.07.2011
Autor: BarneyS

Hallo Herr Algorithmus ;)

ja, es war ein Tippfehler bei der Produktregel...

Irgendwie war ich blind, natürlich ist sie separabel.
Dazu hätte man noch nicht einmal sehen müssen, dass man leicht faktorisieren kann...

Danke für die Hilfe
Bezug
                
Bezug
DGL mit Substitution lösen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Di 05.07.2011
Autor: BarneyS

Jetzt habe ich doch nochmal eine Frage:
>  >  
> > [mm]xz' + z=z^2+\bruch{1}{4}[/mm]    [ok]
>  

von hier geht's dann so weiter:

$ [mm] xz'=(z-\bruch{1}{2})^2 [/mm] $

$ [mm] \gdw \bruch{z'}{(z-\bruch{1}{2})^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $

$ [mm] \gdw \integral_{}^{}{\bruch{1}{(z-\bruch{1}{2})^2}dz} [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{x} [/mm] dx $

$ [mm] \gdw -\bruch{1}{z-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x^2} [/mm] + c $

$ [mm] \gdw -\bruch{1}{-\bruch{1}{x^2} + c} [/mm] = [mm] z-\bruch{1}{2} [/mm] $

$ [mm] \gdw \bruch{1}{2}-\bruch{1}{-\bruch{1}{x^2} + c} [/mm] = z $

$ [mm] \gdw \bruch{1}{2}-\bruch{1}{-\bruch{1}{x^2} + c} [/mm] = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] $

$ [mm] \gdw [/mm] y = [mm] \bruch{x}{2}-\bruch{x}{-\bruch{1}{x^2} + c} [/mm]  $

Dies ist mein Ergebnis, jedoch habe ich es mal bei Wolfram Alpha eingegeben und folgende Lösung raus:

$ y(x) = [mm] \bruch{x (4 c_1+log(x)-2)}{2 (4 c_1+log(x))} [/mm] $

Das stimmt gar nicht mit meiner überein. Wo liegt denn der Fehler ?
Bezug
                        
Bezug
DGL mit Substitution lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Di 05.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo BarneyS,

> Jetzt habe ich doch nochmal eine Frage:
> > >
> > > [mm]xz' + z=z^2+\bruch{1}{4}[/mm] [ok]
> >
> von hier geht's dann so weiter:
>
> [mm]xz'=(z-\bruch{1}{2})^2[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{z'}{(z-\bruch{1}{2})^2} = \bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral_{}^{}{\bruch{1}{(z-\bruch{1}{2})^2}dz} = \integral \bruch{1}{x} dx[/mm] [ok]
>
> [mm]\gdw -\bruch{1}{z-\bruch{1}{2}} = -\bruch{1}{x^2} + c[/mm] [notok]

Ui, eine Stammfunktion von [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] ist doch [mm] $\ln(|x|)+c$ [/mm]

>
> [mm]\gdw -\bruch{1}{-\bruch{1}{x^2} + c} = z-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}-\bruch{1}{-\bruch{1}{x^2} + c} = z[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}-\bruch{1}{-\bruch{1}{x^2} + c} = \bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw y = \bruch{x}{2}-\bruch{x}{-\bruch{1}{x^2} + c} [/mm]
>
> Dies ist mein Ergebnis, jedoch habe ich es mal bei Wolfram
> Alpha eingegeben und folgende Lösung raus:
>
> [mm]y(x) = \bruch{x (4 c_1+log(x)-2)}{2 (4 c_1+log(x))}[/mm]
>
> Das stimmt gar nicht mit meiner überein. Wo liegt denn der
> Fehler ?

Leider schon ziemlich weit oben beim Integrieren ...

Gruß

schachuzipus
Bezug
                                
Bezug
DGL mit Substitution lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:49 Di 05.07.2011
Autor: BarneyS

Oh nein oh nein oh nein, ich hab abgeleitet...

ich glaub ich brauch eine Pause...
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