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Forum "Differenzialrechnung" - DGL mit einer var
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DGL mit einer var: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Sa 27.02.2010
Autor: quade521

Hallo,
warum kann ich bei der DGL
[mm] y'=0.5*y-0.5*y^3 [/mm]
nicht einfach direkt integrieren ?
Bzw. wie kann ich sie lösen ohen Bernulli anzuwenden?


        
Bezug
DGL mit einer var: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Sa 27.02.2010
Autor: uliweil

Hallo quade521,

was meinst Du mit "direkt integrieren"?

Ich denke, die DGl löst man mit Trennung der Variablen.
Gruß
Uli

Bezug
                
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DGL mit einer var: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 So 28.02.2010
Autor: quade521

ja aber wie kann ich hier die variablen trennen?

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Bezug
DGL mit einer var: Trennung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:06 So 28.02.2010
Autor: Infinit

Hallo quade521,
Trennung der Variablen auch hier:
$$ [mm] \bruch{dy}{0.5 y - 0.5 y^3} [/mm] = dx $$
Und dann die Integrale lösen.
Üben, üben, üben, würde ich sagen.
Viele Grüße,
Infinit

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Bezug
DGL mit einer var: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 So 28.02.2010
Autor: quade521

Hallo,
nur wenn ich nun integriere komem ich auf
                  
2·LN(y) - [mm] LN(y^2 [/mm]  - 1) = C dann e hoch den teerm
[mm] \bruch{y^2}{y^2-1}= [/mm] C  und dann nach y auflösen
[mm] y=\wurzel{\bruch{c}{c-1}} [/mm]
das stimtm aber nicht

Bezug
                                        
Bezug
DGL mit einer var: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 So 28.02.2010
Autor: Infinit

Hallo quade521,
Für die linke Seite bekomme ich mit Hilfe des Bronstein
$$  [mm] \ln |\bruch{y^2}{1-y^2}| [/mm] $$ raus und die Integration der rechten Seite ergibt keine Konstante (wie soll das denn gehen?), sondern ein ganz einfaches
$$ [mm] \int [/mm] 1 [mm] \, [/mm] dx = x [mm] \, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                
Bezug
DGL mit einer var: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 So 28.02.2010
Autor: quade521

hallo,
also das integral muss stimmen ich hab es in wolfram alpha eingegeben

Bezug
                                                        
Bezug
DGL mit einer var: Was bitte
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 So 28.02.2010
Autor: Infinit

Hallo,
was soll wie stimmen?
Gruß,
Infinit

Bezug
                                                                
Bezug
DGL mit einer var: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 So 28.02.2010
Autor: quade521

das Integral auf der linken Seite
y/...
das müsste stimmen

Bezug
                                                        
Bezug
DGL mit einer var: 1/2 im Kehrwert und Betrag
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 So 28.02.2010
Autor: Infinit

Hallo,
unsere Ergebnisse sind nun gleich. Beim Logarithmus dürfen wir die Betragsfunktion nicht vergessen und ich hatte einen Fehler beim Rausziehen des Faktors 1/2 im Nenner gemacht, das gibt für den Gesamtbruch natürlich einen Faktor von 2.
Formen wir mal um:
$$ 2 [mm] \int \bruch{1}{y(1-y^2)} \, [/mm] dy = [mm] \ln |\bruch{y^2}{1-y^2}|= \ln |\bruch{y^2}{y^2-1}| [/mm] $$
Über den Zähler der Stammfunktion brauchen wir uns keine Sorgen zu machen, der ist immer positiv,durch den Betrag im Nenner ist es unwichtig, wie herum die Terme stehen, denn [mm] |a-b| = |b-a| [/mm].
Dahin kommen wir aber auch mit Deiner Schreibweise:
$$ 2 [mm] \ln|y| [/mm] - [mm] \ln|y^2-1| [/mm] = ln [mm] |\bruch{y^2}{y^2-1}| [/mm] $$
Uff, beides stimmt überein :-)
Viele Grüße,
Infinit


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