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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:05 Di 19.07.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo,
ich rechne gerade unsere Probeklausur durch und bleibe schon bei der ersten Aufgabe hängen (ich glaub, das Wetter bekommt mir nicht...)
Folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie die Funktion [mm] y:(-\pi, \pi)\to\IR, [/mm] die die folgende DGL
[mm] y'(t)=-42\tan(t)y(t)+21\cos(21t) [/mm] mit y(0)=42 löst. Geben Sie insbesondere [mm] y_h, y_p [/mm] und y_AWP an.
OK, als erstes bestimme ich [mm] \alpha(t)=-42\tan(21t)=-42\bruch{\sin(21t)}{\cos(21t)}
[/mm]
Jetzt meine ich sowas im Kopf zu haben, dass [mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}=\ln|f(x)| [/mm] ist, bin mir aber nicht sicher und irgendwie zu blöd das wiederzufinden. Kann aber irgendwie auch nicht stimmen, dann wäre
[mm] A(x)=\alpha(x)=-42*\ln|cos(21t)| [/mm] - isses aber laut meinem TI nicht, sondern [mm] 2*\ln|cos(21t)| [/mm]
Frage 1 Wie kommt die 2 zu Stande?
Dann weiter mit dem Wert vom TI.
[mm] y_h(t)=C(x)*e^{A(x)}=C*e^{2*\ln|\cos(21t)|}=C*\cos^2(21t) [/mm]
Frage 2: Ist das wirklich so simpel, dass [mm] \exp [/mm] und [mm] \ln [/mm] sich aufheben und ich zweimal das cosinus-Gedöns übrig habe? Erscheint mir gerade ein wenig simpel...
Als nächstes Variation der Konstanten zur Berechnung von [mm] y_p(t).
[/mm]
[mm] C'(x)=\bruch{s(x)}{e^(A(x))}=\bruch{42*\cos(21t)}{\cos^2(21t)}
[/mm]
[mm] C(x)=42*\integral{\bruch{1}{cos(21t)}dt}
[/mm]
Substitution von u=21t ergibt [mm] \bruch{1}{21}\integral{\bruch{1}{\cos(u)}}
[/mm]
Frage 3: Wie geht's jetzt weiter?
Als Lösung habe ich hier
[mm] \bruch{42}{21}*\ln*|\tan(\bruch{42t}{2}+\bruch{\pi}{4})|
[/mm]
Wie kommt da das [mm] \pi [/mm] rein? Wurde eventuell der cosinus irgendwie umgeschrieben? Wenn ja - wie kommt man dadrauf, gibt's da irgendnen Trick, woran man sieht, dass man das machen muss?
Danke schonmal, ist bestimmt nicht das letzte Mal, dass ich hier mit Ana nerve, wenn ich mir den Rest der Probeklausur so angucke :-(
Gruß
Sanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Di 19.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Sanne!
> Bestimmen Sie die Funktion [mm]y:(-\pi, \pi)\to\IR,[/mm] die die
> folgende DGL
> [mm]y'(t)=-42\tan(t)y(t)+21\cos(21t)[/mm] mit y(0)=42 löst. Geben
> Sie insbesondere [mm]y_h, y_p[/mm] und y_AWP an.
>
> OK, als erstes bestimme ich
> [mm]\alpha(t)=-42\tan(21t)=-42\bruch{\sin(21t)}{\cos(21t)}[/mm]
>
> Jetzt meine ich sowas im Kopf zu haben, dass
> [mm]\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}=\ln|f(x)|[/mm] ist, bin mir
> aber nicht sicher und irgendwie zu blöd das wiederzufinden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das stimmt so ...
> Kann aber irgendwie auch nicht stimmen, dann wäre
> [mm]A(x)=\alpha(x)=-42*\ln|cos(21t)|[/mm] - isses aber laut meinem
> TI nicht, sondern [mm]2*\ln|cos(21t)|[/mm]
>
> Frage 1 Wie kommt die 2 zu Stande?
Du vergisst hier gerade die 21 im Argument des Cosinus!
Substitution $z \ := \ 21t$ liefert $t' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] \ = \ 21$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $dt \ = \ [mm] \bruch{dz}{21}$
[/mm]
Damit wird doch:
[mm] $\integral{-42*\bruch{\sin(21t)}{\cos(21t)} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] 42*\integral{\bruch{-\sin(z)}{\cos(z)} \ \bruch{dz}{21}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{42}{21} [/mm] * [mm] \ln\left|\cos(z)\right| [/mm] \ = \ [mm] 2*\ln\left|\cos(21t)\right|$
[/mm]
Nun klar mit der 2?
> [mm]y_h(t)=C(x)*e^{A(x)}=C*e^{2*\ln|\cos(21t)|}=C*\cos^2(21t)[/mm]
> Frage 2: Ist das wirklich so simpel, dass [mm]\exp[/mm] und [mm]\ln[/mm] sich
> aufheben und ich zweimal das cosinus-Gedöns übrig habe?
> Erscheint mir gerade ein wenig simpel...
Nein, das ist völlig okay so.
Das macht eine Funktion und ihre zugehörige Umkehrfunktion wie [mm] $e^x$ [/mm] und [mm] $\ln(x)$ [/mm] ja gerade aus ...
> [mm]C(x)=42*\integral{\bruch{1}{cos(21t)}dt}[/mm]
>
> Substitution von u=21t ergibt
> [mm]\bruch{1}{21}\integral{\bruch{1}{\cos(u)}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Frage 3: Wie geht's jetzt weiter?
Erste Schritte:
$\bruch{1}{\cos(u)} \ = \ \bruch{\cos(u)}{\cos^2(u)} \ = \ \bruch{\cos(u)}{1-\sin^2(u)$
Nun Substitution $z \ := \ \sin(u)$ mit $z' \ = \ \bruch{dz}{du} \ = \ \cos(u)$ $\Rightarrow$ $du \ = \ \bruch{dz}{\cos(u)}$
Damit wird dann:
$\integral{\bruch{\cos(u)}{1-\sin^2(u)} \ du} \ = \ \integral{\bruch{\cos(u)}{1-z^2} \ \bruch{dz}{\cos(u)}} \ = \ \integral{\bruch{1}{1-z^2} \ dz} \ = \ \integral{\bruch{1}{(1-z)*(1+z)} \ dz}$
Nun weiter mit Partialbruchzerlegung ...
> Als Lösung habe ich hier [mm]\bruch{42}{21}*\ln*|\tan(\bruch{42t}{2}+\bruch{\pi}{4})|[/mm]
> Wie kommt da das [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
rein? Wurde eventuell der cosinus
> irgendwie umgeschrieben? Wenn ja - wie kommt man dadrauf,
> gibt's da irgendnen Trick, woran man sieht, dass man das
> machen muss?
Da stecken im Anschluß an die Integration noch einige Additionstheoreme u.ä. drin.
Zum Beispiel: $\tan\left(\bruch{\alpha}{2}\right) \ = \ \bruch{1-\cos(\alpha)}{\sin{(\alpha)}$
Ich selber konnte das auch nur nachvollziehen durch den "Rückwärtsgang", sprich: durch Ableiten der genannten Stammfunktion.
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 19.07.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo Loddar,
danke für deine Antwort, das war ja mal ne ganz tolle Aufgabe :-(
Aber nun ist schonmal einiges klarer.
Gruß
Sanne
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