DGL ungleichung < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Do 28.11.2013 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Seien [mm] $a,b,c\in\mathbb{R}$ [/mm] und sei [mm] $\varphi\in\mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R})$ [/mm] mit [mm] $$\varphi'(t)\leq c\varphi(t)\qquad\qquad \mbox{ für alle } t\in [/mm] [a,b].$$
Zeigen Sie, dass dann [mm] $$\varphi(t)\leq\varphi(a)e^{c(t-a)}\quad \mbox{ für alle } t\in[a,b]$$
[/mm]
gelten muss. |
Guten Abend,
ich habe versucht diese Aufgabe zu bearbeiten, bin aber bei einigen Sachen unsicher, ob das so richtig/zulässig ist.
Mein Lösungsweg:
Fallunterscheidung:
1. Fall: [mm] $\varphi(a)\neq [/mm] 0$
Mit Trennung der Variablen erhalte ich:
[mm] $\frac{d\varphi}{dt}\leq c*\varphi$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \int_{\varphi(a)}^{\varphi(t)}\frac{1}{s}ds=\int_a^t [/mm] dr$
[mm] $\Lefrtrightarrow \ln(\varphi(t))-\ln(\varphi(a))\leq [/mm] c*(t-a)$
[mm] $\Leftrightarrow \varphi(t)\leq \varphi(a)*e^c{(t-a)}$
[/mm]
Hier bin ich mir aber unsicher, da falls gilt [mm] $\varphi(a)<0$, [/mm] ist [mm] $\ln(\varphi(a))$ [/mm] ja gar nicht definiert?
Muss ich hier dann nochmal eine Fallunterscheidung machen?
2.Fall: [mm] $\vaprhi(a)=0$
[/mm]
Aus der Vor. folgt ja: [mm] $\varphi(a)\leq [/mm] 0$.
Somit ist die Steigung von [mm] $\varphi$ [/mm] am Punkt a negativ, also fällt sie an dieser Stelle.
Da [mm] $\varphi'$ [/mm] stetig ist, folgt ja logischerweise, dass [mm] $\varphi(t)\leq [/mm] 0$, also [mm] $\varphi$ [/mm] monoton fallend.
Daraus folgt:
[mm] $\varphi(t)\leq\varphi(a)\leq\varphi(a)*e^{c(t-a)}$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] [a,b]$.
Nun weiß ich nicht, wie ich die monotonie mathematisch zeigen soll.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Vielen Dank
HugATree
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Fr 29.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]$a,b,c\in\mathbb{R}$[/mm] und sei
> [mm]$\varphi\in\mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R})$[/mm] mit
> [mm]\varphi'(t)\leq c\varphi(t)\qquad\qquad \mbox{ für alle } t\in [a,b].[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass dann
> [mm]\varphi(t)\leq\varphi(a)e^{c(t-a)}\quad \mbox{ für alle } t\in[a,b][/mm]
>
> gelten muss.
>
> Guten Abend,
>
> ich habe versucht diese Aufgabe zu bearbeiten, bin aber bei
> einigen Sachen unsicher, ob das so richtig/zulässig ist.
>
> Mein Lösungsweg:
>
> Fallunterscheidung:
>
> 1. Fall: [mm]\varphi(a)\neq 0[/mm]
>
> Mit Trennung der Variablen erhalte ich:
>
> [mm]\frac{d\varphi}{dt}\leq c*\varphi[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \int_{\varphi(a)}^{\varphi(t)}\frac{1}{s}ds=\int_a^t dr[/mm]
>
> [mm]\Lefrtrightarrow \ln(\varphi(t))-\ln(\varphi(a))\leq c*(t-a)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \varphi(t)\leq \varphi(a)*e^c{(t-a)}[/mm]
>
> Hier bin ich mir aber unsicher, da falls gilt [mm]\varphi(a)<0[/mm],
> ist [mm]\ln(\varphi(a))[/mm] ja gar nicht definiert?
> Muss ich hier dann nochmal eine Fallunterscheidung
> machen?
>
> 2.Fall: [mm]\vaprhi(a)=0[/mm]
>
> Aus der Vor. folgt ja: [mm]\varphi(a)\leq 0[/mm].
> Somit ist die
> Steigung von [mm]\varphi[/mm] am Punkt a negativ, also fällt sie an
> dieser Stelle.
> Da [mm]\varphi'[/mm] stetig ist, folgt ja logischerweise, dass
> [mm]\varphi(t)\leq 0[/mm], also [mm]\varphi[/mm] monoton fallend.
> Daraus folgt:
>
> [mm]\varphi(t)\leq\varphi(a)\leq\varphi(a)*e^{c(t-a)}[/mm] für alle
> [mm]t\in [a,b][/mm].
>
> Nun weiß ich nicht, wie ich die monotonie mathematisch
> zeigen soll.
>
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
>
> Vielen Dank
> HugATree
>
Setze [mm] f(t):=\varphi(t)*e^{-c(t-a)} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [a,b]
Berechne f' und zeige, dass f fallend ist. Dann ist f(a) [mm] \ge [/mm] f(t) für t [mm] \in [/mm] [a,b].
FRED
|
|
|
|
