D diag'bar => D^t diag'bar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich sitze hier gerade an einem Beweis. Für einen Zwischenschritt müsste ich zeigen, dass falls D diagonalisierbar ist, auch [mm] D^t [/mm] (also das Transponierte) auch diagonalisierbar ist.
Meine Idee:
Es gibt die Rechenregel:
[mm] det(M)=det(M^t) [/mm] (für eine Matrize M)
Aus dieser Regel folgt, dass D und [mm] D^t [/mm] das selbe charakteristische Polynom haben.
Der Hauptsatz zur Diagonalisierbarkeit besagt, dass Falls das charakteristische Polynom einer Matrix n verschiedene Nullstellen hat, dass dann die Matrix diagonalisierbar ist.
Ich würde allerdings gerne folgern, dass falls die Matrix diagonalisierbar ist, ihr charakteristisches Polynom n verschiedene Nullstellen hat (das ist aber offenbar falsch, wenn man die Einheitsmatrix betrachtet).
Somit kann ich aber keine Aussage zum charakteristischen Polynom von D machen und somit auch keine Aussage zur Diagonalisierbarkeit von [mm] D^t.
[/mm]
Hat jemand eine Idee?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mi 30.04.2008 | | Autor: | taura |
Hallo Rutzel!
Wenn eine Matrix A diagonalisierbar ist, dann findest du eine invertierbare Matrix S, so dass [mm] $SAS^{-1}=D$ [/mm] und D Diagonalmatrix. Dann gilt [mm] $(SAS^{-1})^t=(S^{-1})^tA^tS^t=D^t=D$. [/mm] Setze [mm] $P:=(S^{-1})^t$ [/mm] dann ist P invertierbar und es gilt: [mm] $PA^tP^{-1}=D$, [/mm] somit ist mit A auch [mm] $A^t$ [/mm] diagonalisierbar.
Hilft das?
Grüße taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
> Hilft das?
>
> Grüße taura
klar hilft das, du hast es ja komplett bewiesen :)
dankeschön!
Gruß,
Rutzel
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