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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Mellen |
| Aufgabe | Es sei {a1,a2,a3} diejenige Basis von [mm] (\IR³) [/mm] *, die zur kanonischen Basis des [mm] \IR³ [/mm] dual ist. Ferner sei {b1,b2,b3} die Basis von [mm] (\IR³) [/mm] *, die zur Basis {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} dual ist. Berechnen sie:
a) a1((2,3,1))
b) (a1 [mm] \wedge [/mm] a3) ((2,3,1),(1,4,2))
c) (a1 [mm] \wedge [/mm] a2 [mm] \wedge [/mm] a3) ((2,3,1),(1,4,2),(0,1,2))
d) b1((0,1,0))
e) (b1 [mm] \wedge [/mm] b2) ((2,1,0),(1,-1,0)) |
Hallo zusammen.
Leider ist mir das Dachprodukt ziemlich unklar deswgeen habe ich probleme mit dem berchenen.
Bei a) hab ich 2 raus.
Bei b) 1
Bei d) 0
und bei e) -3.
Bei c weiss ich leider nich wie das berechnensoll. Vielleicht könnte mir das einer erklären und gucken ob die anderen Lösungen richtig sind.
Vielen Dank im Vorraus.
Ellen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Maceo |
Erstmal zur Berechnung einer dualen Basis:
Sei [mm] E=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} [/mm] die kanonischen Basis von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Die duale Basis E*= [mm] \{a_{1},a_{2},a_{3}\} [/mm] berechnet man dann
wie folgt:
----------------------------------------------------------------------------
Jedes a [mm] \in [/mm] V*=( [mm] \IR^{3}) [/mm] * lässt sich folgendermaßen
aufschreiben:
[mm] a(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{3} c_{i} x_{i}
[/mm]
wobei [mm] x=(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] ein Vektor aus [mm] \IR^{ 3} [/mm] und
[mm] c_{i} [/mm] irgendwelche Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] sind.
Für ein Element der dualen Basis (nur so nebenbei:
sind ja alle Linearformen, also lineare Abbildungen
von V [mm] \to \IR) [/mm] gilt weiterhin:
[mm] a_{i}(e_{j}) [/mm] = [mm] \delta_{ij}
[/mm]
----------------------------------------------------------------------------
d.h. z.B. [mm] a_{1}(e_{1}) [/mm] = 1, [mm] a_{1}(e_{2}) [/mm] = 0, [mm] a_{1}(e_{3}) [/mm] = 0...
So, nun zur eigentlichen Berechnung mal für [mm] a_{1}
[/mm]
(Ziel ist es die Koeffizienten [mm] c_{i} [/mm] zu bestimmen,
um damit die Linearform def. zu können):
Es gilt:
[mm] a_{1}(e_{1}) [/mm] = [mm] a_{1}( \vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] 1 + [mm] c_{2} [/mm] 0 + [mm] c_{3} [/mm] 0 = 1
[mm] \Rightarrow c_{1} [/mm] = 1
[mm] a_{1}(e_{2}) [/mm] = [mm] a_{1}( \vektor{0 \\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] 0 + [mm] c_{2} [/mm] 1 + [mm] c_{3} [/mm] 0 = 0
[mm] \Rightarrow c_{2} [/mm] = 0
[mm] a_{1}(e_{3}) [/mm] = [mm] a_{1}( \vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] 0 + [mm] c_{2} [/mm] 0 + [mm] c_{3} [/mm] 1 = 0
[mm] \Rightarrow c_{3} [/mm] = 0
Also gilt für deine Linearformen, bzw. dein erstes Basiselement
der dualen Basis:
[mm] a_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{3} c_{i} x_{i}
[/mm]
= [mm] c_{1} x_{1} [/mm] + [mm] c_{2} x_{2} [/mm] + [mm] c_{3} x_{3}
[/mm]
= [mm] x_{1}
[/mm]
Für einen beliebigen Vektor aus [mm] x=(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^{ 3}
[/mm]
liefert dir deine Linearform also:
[mm] a_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
Nach dem selben Muster kann man damit die duale Basis
zur kanonischen Basis berechnen... ebenso die duale Basis
zu der anderen Basis.
Die Ergebnisse sind dann etwas anders, aber ich lass dich erstmal
selber versuchen....
zu
a) 2 stimmt
e) -3 stimmt
b),d) stimmen nicht
zu c) Versuch's mal mit dem Lemma auf Seite 28 unten im Skript:
Im Endeffekt musst du die Determinante einer (3x3)-Matrix
berechnen, deren Einträge [mm] a_{i}(v_{j})
[/mm]
also der Wert der Linearformen/Elemente der dualen Basis [mm] (a_{i})
[/mm]
für einen der drei Vektoren [mm] (v_{j}) [/mm] sind.
So, ich hoffe das ist einigermaßen verständlich.
--
Viele Grüße,
Maceo
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