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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:09 Mo 23.06.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | Es sei V ein endl-dim [mm] \IR [/mm] - VR.
[mm] Alt^k [/mm] (V) := {f: Vx....xV (das x wird k-mal benutzt) [mm] \to \IR [/mm] | f multilinear, alternierend}
[mm] Alt^k [/mm] ist auf natuerliche Weise ein [mm] \IR [/mm] - VR [mm] \cong [/mm] (
a) Zeigen Sie, es existiert ein kanonischer Isomorphismus [mm] Alt^k [/mm] (V) [mm] \cong [/mm] ( [mm] \wedge^k [/mm] V)*
Tipp: benutze die unverselle Eigenschaft des äusseren Produktes.
b) Es sei [mm] M^k [/mm] (V) der Raum der k-fach multilinearen Abbildung [mm] \alpha [/mm] : Vx...xV [mm] \to \IR [/mm] bezwichnet. Zeige, es existiert ein kanonischer Isomorphismus [mm] M^k [/mm] (V) [mm] \cong [/mm] V* [mm] \otimes [/mm] .... [mm] \otimes [/mm] V* (hier wieder [mm] \otimes [/mm] k-mal)
c) Fuer ein Elt [mm] \alpha [/mm] definieren wir
[mm] A(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1}{k!} \summe_{\nu \in s_k}^{n} \nu [/mm] * [mm] \alpha
[/mm]
Zeige: [mm] A(\alpha) \in Alt^k [/mm] (V) und A : [mm] M^k [/mm] (V) [mm] \to Alt^k [/mm] (v) ist linear.
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Also ich bin hier sehr sehr ratlos, Dachprodukte etc. ist nicht so ganz mein Ding.
Deswege habe ich auch noch keinen richtigen Lösungsansatz.
Ich schätze das man bei der a und b zeigen muss, dass die Abbildung bijektiv ist, nur wie genau weiss ich nicht.
Bei der c wuerde ich sagen dass man die Eigenschaften der Linearität zeigen muss, also
1)f(x + y) = f(x) + f(x)
[mm] 2)f(\lambda [/mm] * x ) = [mm] \lambda [/mm] f(x)
nur wie genau das hier funktionieren soll ist mir nicht klar.
Fuer jede Hilfe wäre ich echt dankbar, auch wenn ich nicht so super viele Lösungswege reingestellt habe...
lg xxxx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 25.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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