Darstellung arcosh durch ln < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die beiden Funktionen
f(x) = [mm] L*arcosh(\bruch{-L}{x}) [/mm] - [mm] \wurzel[2]{L^2 - x^2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [-L,0[
g(x) = [mm] \bruch{1}{2} ln(\bruch{L+\wurzel[2]{L^2 -x^2}}{L-\wurzel[2]{L^2 - x^2}}) [/mm] - [mm] \wurzel[2]{L^2 - x^2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [-L,0[
sind verschiedene Darstellungen derselben Kurve. Wie kann das sein?
Hinweis: Es gilt arcosh (x) = ln(x [mm] +\wurzel[2]{x^2 - 1} [/mm] für alle x [mm] \ge [/mm] 1
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Hallo!
leider scheitere ich schon seit geraumer zeit an
der lösung und meine ansätze bringen mich nicht weiter.
der meistversprechende ist beide abzuleiten, allerdings schaffe ich es
nicht die gleichheit zu beweisen.
gruß rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 So 20.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Rainer,
zwei stetig diff-bare Funktionen f und g auf einem Intervall sind identisch gleich, wenn ihre Differenzfunktion d = f - g irgendwo im Intervall Null ist und außerdem d' konstant Null ist. So würde ich es hier versuchen. Durch die Differenzbildung fällt der hintere Term weg. Die Ableitung sollte machbar sein. Ist natürlich etwas Arbeit 
Gruß
Will
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hi will,
erstmal danke fur deine antwort, aber ich komm da echt nicht weiter.
es wird nur ein sehr langer term, den ich nicht sinnvoll vereinfachen kann.
hast du ne bessere idee/ansatz, um das problem zu losen?
gruss rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 23.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 So 20.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rainer!
Du kannst auch alternativ den Term $z \ := \ [mm] -\bruch{L}{x}$ [/mm] in die Formel für [mm] $\text{arcosh}(z) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(z+\wurzel{z^2-1} \ \right)$ [/mm] einsetzen und umformen.
Gruß
Loddar
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hi loddar,
leider schaffe ich es auch mit deinem ansatz nicht.
wie kann ich das denn weiter umformen?
gruss rainer
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Hallo Rainer,
lass mich raten, du warst auch so "schlau" und hast in den ersten beiden Teilen des Projekts zusammen weniger als 9 Punkte geholt? und jetzt brauchst du dringend min. 9 um zu bestehen? ...deshalb sitzt du seit Tagen an diesem verfluchten Teil 3 und denkst die ganze Zeit:"ach hätt´ ich doch.."? .....mir gehts jedenfalls so, aber pass auf ich hab 2 lösungsansätze für dich:
1.)
durch immer wieder umformen kam ich auf:
[mm] L\cdot{}arcosh(\bruch{-L}{x}) [/mm] = L [mm] \cdot [/mm] ln [mm] \left( \bruch{ (l+\wurzel{l^2-x^2}} {-x} \right)
[/mm]
so jetzt ist
[mm] \bruch{1}{2}*l [/mm] ln [mm] \left( \bruch{l+\wurzel{l^2-x^2}} {l-\wurzel{l^2-x^2}} \right)
[/mm]
= [mm] l*\wurzel{\left( \bruch{l+\wurzel{l^2-x^2}} {l-\wurzel{l^2-x^2}} \right)}
[/mm]
is einfach so, logarhitmusgesetze..
jetzt musst du noch zeigen, dass
L [mm] \cdot [/mm] ln [mm] \left( \bruch{ (l+\wurzel{l^2-x^2}} {-x} \right) [/mm] = [mm] l*\wurzel{\left( \bruch{l+\wurzel{l^2-x^2}} {l-\wurzel{l^2-x^2}} \right)}
[/mm]
konnt ich nicht war ich zu blöd für, deshalb nehm ich lieber koeppers ansatz:
2.) pass auf wir kennen doch eine Nullstelle von beiden Funktionen, nämlich bei f(-L) also ist auch die differenz beider Funktionen an dieser Stelle 0. Die Ableitung ist nicht nur möglich, es macht auch nicht sehr viel arbeit sie herauszufinden....sondern wir haben sie schon längst! in Aufgabe h) und i) haben wir die doch integriert um überhaupt f(x) und g(x) zu erhalten. Es ist auch tatsächlich f´(x) + g´(x) = konstant 0
Also ich spar mir den Gehirnkrampf mit Ansatz 1 und schreib 2 hin. Wenn du 1 hinkriegst umzuformen dann siehts natürlich wesentlich schicker aus. Also cheers und viel glcük, der Schimpansenmann
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