Darstellungsmatrix Normalform? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $f: [mm] \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 [/mm] $ gegeben durch $ x [mm] \to [/mm] Ax$.
Weiterhin sei $ A = [mm] \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Bestimme Basen A von W und B von V so, dass [mm] $M_{AB}(f)$ [/mm] Normalform besitzt. |
Was ist mit der Normalform gemeint?
Und: $ [mm] M_{AB}$ [/mm] ist doch die Darstellungsmatrix, nicht?
Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?
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Hallo,
> Sei [mm]f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3[/mm] gegeben durch [mm]x \to Ax[/mm].
>
> Weiterhin sei [mm]A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}[/mm].
>
> Bestimme Basen A von W und B von V so, dass [mm]M_{AB}(f)[/mm]
> Normalform besitzt.
> Was ist mit der Normalform gemeint?
Ich würde sagen, das die Stufenform gemeintz ist, also es soll eine ober Dreiecksmatrix werden.
>
> Und: [mm]M_{AB}[/mm] ist doch die Darstellungsmatrix, nicht?
>
> Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?
Mit irgendeiner Zerlegung, die du gelernt hast. Ich tippe mal auf eine LR-Zerlegung.
Gruß, Diophant
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Hi,
mit der LR-Zerlegung habe ich noch nichts gemacht..
Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix entsprechen doch den Spaltenvektoren der Bilder der Basisvektoren von V. (ich nehme mal an dass die Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] W $ gemeint ist, da in der Aufgabenstellung davon nichts gesagt wird).
Wenn nun [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_4$ [/mm] die Basisvektoren aus V beschreiben, und [mm] $w_1, [/mm] ..., [mm] w_3$ [/mm] die Basisvektoren aus W dann gilt:
[mm] $f(v_1) [/mm] = A [mm] \cdot v_1 [/mm] = ... = k [mm] \cdot w_1 [/mm] + [mm] 0w_2 [/mm] + [mm] 0w_3$
[/mm]
[mm] $f(v_2) [/mm] = A [mm] \cdot v_2 [/mm] = ... = l [mm] \cdot w_1 [/mm] + m [mm] \cdot w_2 [/mm] + [mm] 0w_3$
[/mm]
...
Wie fügt sich denn diese LR-Zerlegung in diese Aufgabe ein?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Diophant |
...ist auch vorbei. 
> Hi,
>
> mit der LR-Zerlegung habe ich noch nichts gemacht..
Ok.
>
> Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix entsprechen doch
> den Spaltenvektoren der Bilder der Basisvektoren von V.
> (ich nehme mal an dass die Abbildung [mm]f: V \to W[/mm] gemeint
> ist, da in der Aufgabenstellung davon nichts gesagt wird).
>
> Wenn nun [mm]v_1, ..., v_4[/mm] die Basisvektoren aus V beschreiben,
> und [mm]w_1, ..., w_3[/mm] die Basisvektoren aus W dann gilt:
>
> [mm]f(v_1) = A \cdot v_1 = ... = k \cdot w_1 + 0w_2 + 0w_3[/mm]
>
> [mm]f(v_2) = A \cdot v_2 = ... = l \cdot w_1 + m \cdot w_2 + 0w_3[/mm]
>
> ...
>
Ja, dann ist das so gemeint. Schau dir dazu die Antwort von fred97 an, damit solltest du weiterkommen.
Sorry, dass ich daneben gehauen habe. 
Gruß, Diophant
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Hallo,
dafür brauchst du dich nicht entschuldigen! Wenn ich die Aufgabe auf dem mir bekannten Weg gelöst habe, versuche ich das mit der LR-Zerlegung auf jeden Fall gleich mal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] B=\{b_1,b_2,b_3,b_4 \} [/mm] die Standardbasis von [mm] V=\IR^4.
[/mm]
Sei [mm] a_j:=f(b_j) [/mm] (j=1,2,3).
Überzeuge Dich davon, dass [mm] A:=\{a_1,a_2,a_3 \} [/mm] eine Basis des Raumes W= [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Dann ist
[mm] M_{AB}(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{pmatrix}.
[/mm]
Berechne nun Du die Zahlen x,y,z.
FRED
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Ich erhalte dann zunächst einmal:
$ [mm] f(b_1) [/mm] = A [mm] \cdot (b_1) [/mm] = (-2,-3,-1) = [mm] a_1$
[/mm]
$ [mm] f(b_2) [/mm] = A [mm] \cdot (b_2) [/mm] = (3, 5, 2) = [mm] a_2 [/mm] $
$ [mm] f(b_3) [/mm] = A [mm] \cdot (b_3) [/mm] = (2, 0, -2) = [mm] a_3
[/mm]
Nun sind aber diese drei Vektoren linear abhängig. Also bilden sie auch keine Basis von W.
Habe ich dich falsch verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich erhalte dann zunächst einmal:
>
> [mm]f(b_1) = A \cdot (b_1) = (-2,-3,-1) = a_1[/mm]
Nein. Sondern [mm] f(b_1) [/mm] = (-2,3,-1)
> [mm]f(b_2) = A \cdot (b_2) = (3, 5, 2) = a_2[/mm]
>
> $ [mm]f(b_3)[/mm] = A [mm]\cdot (b_3)[/mm] = (2, 0, -2) = [mm]a_3[/mm]
>
> Nun sind aber diese drei Vektoren linear abhängig.
Wenn ich nicht ganz verblödet bin, so sind sie l.u.
FRED
> Also
> bilden sie auch keine Basis von W.
>
> Habe ich dich falsch verstanden?
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> Sei [mm]B=\{b_1,b_2,b_3,b_4 \}[/mm] die Standardbasis von [mm]V=\IR^4.[/mm]
>
> Sei [mm]a_j:=f(b_j)[/mm] (j=1,2,3).
>
> Überzeuge Dich davon, dass [mm]A:=\{a_1,a_2,a_3 \}[/mm] eine Basis
> des Raumes W= [mm]\IR^3[/mm] ist.
>
> Dann ist
>
>
> [mm]M_{AB}(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Berechne nun Du die Zahlen x,y,z.
>
> FRED
Hallo,
ich weiß natürlich nicht, was beim Kartoffelchen in diesem Zusammenhang als Normalform definiert wurde.
Das müßte es uns im Idealfall selbst mitteilen.
Ich glaube aber, daß eher eine Form [mm] \pmat{E_r&0\\0&0} [/mm] gefragt ist mit r=Rang f und [mm] E_r [/mm] die entsprechende Einheitsmatrix.
Man braucht also eine Basis des Bildes, ihr Urbild und eine Basis des Kerns.
LG Angela
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Hallo!
Ich habe mal nachgefragt. Ich dachte, es gebe da nur eine einheitliche Definition.
Offenbar ist aber die von Angela genannte Definition die gewünschte.
rang(f) = 3 oder?
Und was ist $ [mm] E_3 [/mm] $ ?
Und warum brauche ich den kern.. ? puh! :D
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> Hallo!
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> Ich habe mal nachgefragt. Ich dachte, es gebe da nur eine
> einheitliche Definition.
>
> Offenbar ist aber die von Angela genannte Definition die
> gewünschte.
>
> rang(f) = 3 oder?
Hallo,
ja.
> Und was ist [mm]E_3[/mm] ?
Hatte ich doch geschrieben: die Einheitsmatrix.
Du brauchst eine Basis [mm] A=(a_1, a_2, a_3, a_4) [/mm] des [mm] \IR^4 [/mm] und eine Basis [mm] B=(b_1,b_2,b_3) [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] mit
[mm] f(a_1)=b_1
[/mm]
[mm] f(a_2)=b_2
[/mm]
[mm] f(a_3)=b_3
[/mm]
[mm] f(a_4)=0, [/mm]
damit die Darstellungsmatrix so aussieht, wie sie aussehen soll.
> Und warum brauche ich den kern.. ? puh! :D
Was ist denn der Kern? Wie ist der definiert?
LG Angela
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Aha!
Für den Kern muss ich mein [mm] $a_4$ [/mm] so wählen, dass [mm] $f(a_4) [/mm] = 0$, d.h. [mm] $Aa_4$ [/mm] = 0.
Und wenn ich das so hinschreibe erhalte ich ein Gleichungssystem, in dem ich zwei Parameter frei wählen kann:
Ich wähle zum Beispiel so, dass
[mm] $a_4 [/mm] = (2, 1, -1, 1)$
damit ist auch [mm] $f(a_4) [/mm] = 0$.
Nun nehme ich noch drei Vektoren $ [mm] a_1, a_2, a_3$ [/mm] sodass diese zusammen mit [mm] $a_4$ [/mm] eine Basis von V bilden und erhalte:
[mm] $a_1 [/mm] = (1,0,0,0)$
[mm] $a_2 [/mm] = (0,1,0,0)$
[mm] $a_3 [/mm] = (0,0,1,0)$
[mm] $a_4 [/mm] = (2, 1, -1, 1)$.
Damit sind die Basen von V gewählt.
Die Basen von W entsprechen nun den Funktionswerten, d.h.:
[mm] $b_1 [/mm] = [mm] f(a_1) [/mm] = ... = (-2, 3, -1)$
[mm] $b_2 [/mm] = [mm] f(a_2) [/mm] = ... = (3, 5, 2)$
[mm] $b_3 [/mm] = [mm] f(b_3) [/mm] = ... = (3, 1, -2)$.
Alles in eine Matrix verfrachten heißt:
$M = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Und, wie sieht das aus?
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> Aha!
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> Für den Kern muss ich mein [mm]a_4[/mm] so wählen, dass [mm]f(a_4) = 0[/mm],
> d.h. [mm]Aa_4[/mm] = 0.
>
> Und wenn ich das so hinschreibe erhalte ich ein
> Gleichungssystem, in dem ich zwei Parameter frei wählen
> kann:
Hallo,
das würde allerdings dem widersprechen, daß Rang f=3 ist,
denn wenn Du zwei Parameter frei wählen kannst, hat ja der Kern die Dimension 2.
>
> Ich wähle zum Beispiel so, dass
> [mm]a_4 = (2, 1, -1, 1)[/mm]
> damit ist auch [mm]f(a_4) = 0[/mm].
Ich glaube, Du hast Dich verrechnet.
Da kommt nicht 0 heraus.
>
> Nun nehme ich noch drei Vektoren [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] sodass diese
> zusammen mit [mm]a_4[/mm] eine Basis von V bilden und erhalte:
>
> [mm]a_1 = (1,0,0,0)[/mm]
> [mm]a_2 = (0,1,0,0)[/mm]
> [mm]a_3 = (0,0,1,0)[/mm]
> [mm]a_4 = (2, 1, -1, 1)[/mm].
>
> Damit sind die Basen von V gewählt.
Damit sind keine Basen gewählt, sondern eine Basis.
> Die Basen
s.o.
> von W entsprechen nun den Funktionswerten,
> d.h.:
>
> [mm]b_1 = f(a_1) = ... = (-2, 3, -1)[/mm]
> [mm]b_2 = f(a_2) = ... = (3, 5, 2)[/mm]
>
> [mm]b_3 = f(b_3) = ... = (3, 1, -2)[/mm].
Hab ich nicht nachgerechnet.
>
> Alles in eine Matrix verfrachten heißt:
>
> [mm]M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm].
>
> Und, wie sieht das aus?
Ganz gut.
LG Angela
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ACHTUNG: Ich entschuldige mich vielmals für einen Tippfehler in der Aufgabenstellung. In der Matrix A wurde in der zweiten Zeile vor der 3 ein Minus vergessen!!
Dann ist mein Rang tatsächlich nicht 3 sondern 2.
Dennoch erhalte ich am Ende die Darstellungsmatrix mit der Einheitsmatrix [mm] $E_3$.
[/mm]
_________
Hm..
Es ist doch
$f: [mm] \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3, [/mm] x [mm] \to [/mm] Ax $.
Wenn ich das nun als Matrizenprodukt anschreibe dann erhalte ich eine Matrix mit 3 Zeilen und 1 Spalte. Sagen wir mal x = (a,b,c,d). Dann erhalte ich folgende Zeilen für das Matrizenprodukt:
1. Zeile: -2a +3b +2c +3d
2. Zeile: -3a +5b +0c +1d
3. Zeile: -1a +2b -2c -2d
Und jede Zeile soll nun Null ergeben, da ich ja den Kern möchte.
Für x = (2,1,-1,1) erhalte ich nach Multiplikation von A und x eine Matrix mit 1 Spalte und 3 Zeilen.
Die 1. Zeile lautet: (-4 + 3 -2 +3 = 0)
Die 2. Zeile lautet: (-6 +5 + 0 +1 = 0)
Die 3. Zeile lautet: (-2 +2 +2 -2 = 0).
Was habe ich da falsch gemacht?
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> ACHTUNG: Ich entschuldige mich vielmals für einen
> Tippfehler in der Aufgabenstellung. In der Matrix A wurde
> in der zweiten Zeile vor der 3 ein Minus vergessen!!
>
> Dann ist mein Rang tatsächlich nicht 3 sondern 2.
Hallo,
eine interessante Wendung...
Dann sieht natürlich auch die Normalform anders aus.
>
> Dennoch erhalte ich am Ende die Darstellungsmatrix mit der
> Einheitsmatrix [mm]E_3[/mm].
Das kann doch gar nicht sein.
Wenn die eine Abbildungsmatrix den Rang zwei hat, dann natürlich auch jede bzgl. anderer Basen.
Die Normalform ist mit [mm] E_2.
[/mm]
> _________
>
> Hm..
>
> Es ist doch
>
> [mm]f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3, x \to Ax [/mm].
>
> Wenn ich das nun als Matrizenprodukt anschreibe dann
> erhalte ich eine Matrix mit 3 Zeilen und 1 Spalte. Sagen
> wir mal x = (a,b,c,d). Dann erhalte ich folgende Zeilen
> für das Matrizenprodukt:
>
> 1. Zeile: -2a +3b +2c +3d
> 2. Zeile: -3a +5b +0c +1d
> 3. Zeile: -1a +2b -2c -2d
>
> Und jede Zeile soll nun Null ergeben, da ich ja den Kern
> möchte.
>
> Für x = (2,1,-1,1) erhalte ich nach Multiplikation von A
> und x eine Matrix mit 1 Spalte und 3 Zeilen.
> Die 1. Zeile lautet: (-4 + 3 -2 +3 = 0)
> Die 2. Zeile lautet: (-6 +5 + 0 +1 = 0)
> Die 3. Zeile lautet: (-2 +2 +2 -2 = 0).
>
> Was habe ich da falsch gemacht?
Der Vektor ist im Kern der "neuen" Matrix.
Im Kern der alten war er nicht.
Aber Du hast den Kern offenbar falsch bestimmt.
Der Lösungsraum von Ax=0 ist zweidimensional,
die Basis vom Kern besteht also aus zwei Vektoren.
Was Du falsch gemacht hast, weiß ich nicht, weil ich nicht weiß, wie Du den Kern bestimmst.
Normalerweise löst man ein LGS mit dem Gaußalgorithmus, sinnigerweise in Matrixform (weil übersichtlich).
Da siehst Du dann, daß man zwei freie Variable hat.
LG Angela
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Ähm.. Also die Tatsache, dass der Lösungsraum 2-dimensional ist, erhalte ich dadurch, dass das entstandene Gleichungssystem tatsächlich nach Umformung nur noch aus 2-Nicht-Nullzeilen besteht. Aber in jeder Zeile tauchen 4 Unbekannte auf - dies sind ja die 4 Koordinaten des Vektors x.
Kannst du mir bitte verraten, wie bei dir am Ende die Darstellungsmatrix nun aussieht bzw. welche Basen gewählt worden? Vielleicht erkenne ich so meinen Fehler, den ich dann gerne noch ausführe.
Lg
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> Ähm.. Also die Tatsache, dass der Lösungsraum
> 2-dimensional ist, erhalte ich dadurch, dass das
> entstandene Gleichungssystem tatsächlich nach Umformung
> nur noch aus 2-Nicht-Nullzeilen besteht. Aber in jeder
> Zeile tauchen 4 Unbekannte auf - dies sind ja die 4
> Koordinaten des Vektors x.
Hallo,
warum Du nicht grad mal vormachst, wie Du die Basis des Kerns bestimmt hast...
Offenbar hast Du es ja falsch gemacht, denn Deine Basis enthält einen Vektor, obgleich es zwei sein müssen.
>
> Kannst du mir bitte verraten, wie bei dir am Ende die
> Darstellungsmatrix nun aussieht
Hab' ich doch gesagt(?):
[mm] \pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0}.
[/mm]
> bzw. welche Basen gewählt
> worden? Vielleicht erkenne ich so meinen Fehler, den ich
> dann gerne noch ausführe.
Jetzt paß mal gut auf:
die Person, die hier vorrechnet (und tippt), bist Du.
Die Person die zuschaut und ggf. Tips gibt, bin ich (oder jemand anders).
So ist das Forum gedacht.
Wie die Aufgabe zu lösen ist, habe ich doch bereits erklärt,
und Du hattest doch auch schon eine prinzipiell richtige Lösung für die zuerst gepostete Matrix gefunden.
LG Angela
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Hallo;
welchen Sinn und Zweck das Forum hat, weiß ich. Ich wollte ja auch kein "von-Anfang-an-Vorrechnen-Bitte!" (das tue ich m.E. auch sonst in diesem Forum nicht).
Ich versuche es noch einmal:
1.) Ich berechne den Kern. Hierfür betrachte ich das Produkt Ax mit x = (a,b,c,d). DIeses führt mich zu folgendem Gleichungssystem:
-2a +3b +2c +3d = 0
-3 +5b + 0c +1d = 0
-1a +2b -2c -2d = 0
Dieses Gleichungssystem (also Ax) hat Rang 2. Ich kann insgesamt zwei Parameter frei wählen und tue dies auch. Ich erhalte etwa folgende zwei Vektoren:
[mm] $x_1 [/mm] = (2,1,-1,1) $
[mm] $x_2 [/mm] = (14, 8, -1, 2)$
Insgesamt sind [mm] $x_1, x_2, a_1=e_1, a_2=e_2$ [/mm] linear unabhängig und bilden somit eine Basis für [mm] $\mathbb{R}^4$.
[/mm]
Zudem ist
[mm] $f(a_1) [/mm] = [mm] f(e_1) [/mm] = (-2,3,-1) := [mm] b_1$
[/mm]
[mm] $f(a_2) [/mm] = [mm] f(e_2) [/mm] = (3,5,2) := [mm] b_2$
[/mm]
[mm] $f(x_1) [/mm] = 0$
[mm] $f(x_2) [/mm] = 0$.
Gebe ich die Koordinaten bzgl. der Bildvektoren der Basis von V in eine Matrix erhalte ich damit:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Ich hoffe, dass nun besser ersichtlich ist, was ich wie gerechnet habe.
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Hallo,
die Zahlen habe ich jetzt nicht einzeln nachgerechnet, aber so paßt das jedenfalls vom Prinzip her gut!
LG Angela
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Hallo nochmals,
dann bedanke ich mich recht herzlich für die große Ausdauer und Geduld sowie die hilfreiche Unterstützung
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