Definition Konvexe Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 21.11.2004 | | Autor: | Lizard |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für ein Übungsblatt habe ich die Definition gegeben bekommen, daß eine Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] streng konvex heißt, wenn [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt: f((x+y)/2) < (f(x) + f(y))/2.
Dies trifft auf die bekanntermaßen streng konvexe Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] mit x = y = 1 allerdings nicht zu. Habe ich was falsch verstanden, ist die Definition unvollständig, oder was läuft da schief? Danke schonmal für Anregungen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 So 21.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Lizard,
> Für ein Übungsblatt habe ich die Definition gegeben
> bekommen, daß eine Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm] streng konvex
> heißt, wenn [mm]\forall[/mm] x, y [mm]\in \IR[/mm] gilt: f((x+y)/2) < (f(x) +
> f(y))/2.
> Dies trifft auf die bekanntermaßen streng konvexe Funktion
> f(x) = [mm]x^{2}[/mm] mit x = y = 1 allerdings nicht zu. Habe ich
> was falsch verstanden, ist die Definition unvollständig,
> oder was läuft da schief? Danke schonmal für Anregungen!
Ich habe es gerade nachgerechnet und es trifft auf [mm] x^2 [/mm] zu!
Schreib' doch mal deine Rechnung, dann können wir vergleichen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 So 21.11.2004 | | Autor: | Lizard |
Meine Rechnung:
Gefordert: f((x+y)/2) < (f(x) + f(y))/2.
Setze x := 1, y := 1.
f((x+y)/2) => f((1+1)/2) = f(2/2) = f(1) = [mm] 1^{2} [/mm] = 1
(f(x) + f(y))/2 => (f(1) + f(1))/2 = [mm] (1^{2}+1^{2})/2 [/mm] = (1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
Damit (1<1) ist die Forderung nicht erfüllt.
Hat sich aber schon erledigt, da meine Definition anscheinend unvollständig war :)
Danke trotzdem!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 21.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lizard!
> > Für ein Übungsblatt habe ich die Definition gegeben
> bekommen, daß eine Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm] streng konvex
> heißt, wenn [mm]\forall[/mm] x, y [mm]\in \IR[/mm] gilt: f((x+y)/2) < (f(x) +
> f(y))/2.
Richtig muss es heißen:
Eine Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] heißt streng konvex, wenn für alle [mm] $x,y\in \IR$ [/mm] mit [mm] $\red{x \ne y}$ [/mm] gilt:
$f [mm] \left( \frac{x+y}{2} \right) [/mm] < [mm] \frac{f(x) + f(y)}{2}$.
[/mm]
Dann stimmt dein Beispiel auch wieder.
Ist $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] zweimal stetig differenzierbar, so ist $f$ genau dann strikt konvex, wenn $f''>0$ gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 21.11.2004 | | Autor: | Lizard |
Alles klar, das erklärt es dann. Danke für die prompte Antwort!
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