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Ich muss für mein PL Analysis das Thema Definitionsbereich von Funktionen erlennen und deswegen brauche ich unterlagen über dieses thema ! Das heisst wie kann ich definitionsbereich einer funktion erkennen und bestimmen ! Und kleine tipps wie ungefähr ein deifinitionsbereich von einer funktionsart zum beispiel ganz rationale aussieht usw. Alles wichtige zum Thema ! Bitte um eure Hilfeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo xXDeliYigidimXx
> Ich muss für mein PL Analysis das Thema Definitionsbereich
> von Funktionen erlennen und deswegen brauche ich unterlagen
> über dieses thema ! Das heisst wie kann ich
> definitionsbereich einer funktion erkennen und bestimmen !
> Und kleine tipps wie ungefähr ein deifinitionsbereich von
> einer funktionsart zum beispiel ganz rationale aussieht
> usw. Alles wichtige zum Thema ! Bitte um eure
> Hilfeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
>
Diese Frage kann nicht so generell beantwortet werden! Ich schreibe deshalb einfach einmal einige meiner eigenen Gedanken hin! 
Zunächst einmal: der Definitionsbereich muss im Prinzip gar nicht untersucht werden, sondern er wird vorgegeben
Deshalb werden Funktionen, wenn sie vollständig definiert werden, immer in 2 Teilen gegeben:
1. Teil: Angabe des Definitionsbereichs und des Bildbereichs (aus welcher Menge werden die Argumente der Funktion entnommen, in Welcher Grundmenge liegen die Bilder?)
2. Teil: Angabe der Funktionsvorschrift (wie gelange ich von einem bestimmten Element aus dem Definitionsbereich auf das zugeordnete Bild?)
Beispiel:
$f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; f(x)=x^{2}$
[/mm]
(Das wird allgemeiner so dargestellt:
$f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; [/mm] x [mm] \to x^{2}$
[/mm]
ich will aber bei meinen Beispielen beim $=$ bleiben, weil ich mich immer im Bereich von Zahlen bewege, wo dann eine Berechnung möglich ist)
oder
$g: [mm] \mathbb{C} \to \mathbb{C}; f(z)=z^{2}$
[/mm]
oder
$h: [mm] \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}; f(x)=x^{1/2}$
[/mm]
Nun kommt aber die folgende Ueberlegung:
Oftmals wird der Definitionsbereich, nach meiner Meinung, falsch angegeben!
Da kann jemand kalten Arsches behaupten, er definiere seine Funktion so:
$f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \, f(x)=\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Damit irrt er sich aber gewaltig: jetzt hat er gar keine Funktion mehr definiert!!
Weil: damit sich ein mathematisches Objekt überhaupt "Funktion" schimpfen kann, müsste es für jedes Element des Definitionsbereiches ein Bild zur Verfügung stellen!
Die obige "Funktion" tut das aber nicht! Setze einmal für $x$ den Wert $-1$ ein, dann siehst du das! $-1$ ist ja eine reelle Zahl, trotzdem wird ihr kein Bild zugeordnet!
Korrekt müsste die Definition der Funktion also so aussehen:
$f: [mm] \mathbb{R}\setminus\{-1\} \to \mathbb{R}; \, f(x)=\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Oder aber so:
$f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \, f(x)=\bruch{1}{x+1}$ [/mm] für $x [mm] \not [/mm] = -1; [mm] \, [/mm] f(-1)=0$
Na ja, man muss ja auch praktisch denken!
Man definiert halt eben trotzdem nur
$f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \, f(x)=\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
und schafft einen neuen Begriff: "Natürlicher Definitionsbereich"
Damit meint man dann: ich gebe zwar grob den Definitionsbereich an, weiss aber dass meine Funktionsvorschrift natürlich nicht für jedes Element [mm] $\in$ [/mm] grober Definitionsbereich anwendbar ist. Diese Ausnahmen sind aber eindeutig, auf natürliche Art, eruierbar. Es ist die Aufgabe des Anwenders der Funktion, herauszufinden, für welche Werte aus dem groben Definitionsbereich die Funktion auch tatsächlich ein Bildelement liefert!
Aus diesen Ausführungen wird dir jetzt vielleicht klar: um den (natürlichen) Definitionsbereich zu finden, musst du lediglich überlegen, für welche Elemente des Definitionsbereichs die Funktion nicht auswertbar ist. Diese nimmst du dann einfach aus dem vorgegebenen (groben) Definitionsbereich, und schon hast du den exakten Definitionsbereich, wie er eigentlich korrekterweise bei der Funktionsdefinition hätte angegeben werden müssen!
Eigentlich sind die kritischen Werte meistens so zu suchen:
- Wenn Brüche auftauchen, dann darf der Nenner nicht $0$ sein
- Wenn Wurzeln auftauchen, dann darf, innerhalb der reellen Zahlen zumindst, nicht eine Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden.
- Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Werte definiert (im Reellen)
- Die Umkehrung von Sinus und Cosinus sind nur im Intervall [-1,1] definiert. (Da müsste man aber für den Wertebereich auch noch Einschränkungen machen)
Ich hoffe, mit diesen paar persönlich angehauchten Gedanken habe ich dir ein wenig weiter helfen können.
Wenn dann weitere Fragen auftauchen, zum Beispiel im Zusammenhang mit konkreten Aufgaben: nur her damit!
Mit lieben Grüssen
Paul
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Also es ist so, wir kriegen von unserem Dozenten in der Übung eine Funktion gegeben und dann meint er:"Finden Sie mir den Definitionsbereich von dieser funktion !" In der letzten Übung wollte er von folgenden Funktionen den Definitionsbereich : [mm] f(x)=\bruch{x}{x²+1} [/mm] oder [mm] f(x)=\wurzel{x²-1} [/mm] oder f(x)=ln|x| oder [mm] f(x)=\bruch{x²}{4x²-16} [/mm] oder f(x)=sin x cos x oder f(x)= 4sin²x Hmm also wie soll ich jetzt vorangehen bei den Funktionen ? Der Dozent wollte letztens von diesen Funktionen und anderen den Definitionsbereiche ! Auf was muss ich achten und wie kann so was am schnellsten lösen ? Also den Definitionsbereich herauskriegen und sagen ? Gibt es Techniken und Sachen die man sich kurz merken muss und dann schon beim betrachten den Definitionsbereich erkennt ? Also zu dem Thema will ich alles wissen und wäre dir echt dankbar ! Nochmal danke weil du dir die Mühe machst und noch eine bitte versuch bitte in Umgangssprache es zu erklären und nicht so was wie der Anwender der Funktion oder diese Zungen- bzw. Kopfbrecher bitte :O)) Thanks in vorraus
Kannst du mir auch ein Link sagen oder selber noch reinschreiben ,welche Zeichen man benutzen darf wie zum Beispiel für plus unendlich [mm] +\infty [/mm] oder ) der unterschied zu ] etc. Entschuldigung wenn ich zu viel verlange :o(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Thomie |
Im Grunde ist es ganz einfach:
Der Dozent will von dir wissen, welche x du in die gegebene Funktion einsetzen darfst.
Das sind im Normalfall alle, bis auf einige, die Probleme machen.
Man darf z.B. nicht durch 0 teilen oder einen Logarithmus von einer negativen Zahl bilden.
Wenn euer Dozent euch also nach dem (maximalen!) Definitionsbereich fragt, kannst du sagen (z.B. bei f(x)=1/x): "Das ist ganz IR (bzw. ganz IC), nur die 0 darf ich nicht einsetzen".
War das verständlicher ausgedrückt?
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Meine Frage wurde leider nicht beantwortet bitte um weitere Hilfe !!
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Grüße!
Da muß ich Dir leider widersprechen - Deine Frage IST beantwortet worden und zwar von Paulus in seiner ersten Antwort:
Eigentlich sind die kritischen Werte meistens so zu suchen:
- Wenn Brüche auftauchen, dann darf der Nenner nicht $ 0 $ sein
- Wenn Wurzeln auftauchen, dann darf, innerhalb der reellen Zahlen zumindst, nicht eine Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden.
- Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Werte definiert (im Reellen)
- Die Umkehrung von Sinus und Cosinus sind nur im Intervall [-1,1] definiert. (Da müsste man aber für den Wertebereich auch noch Einschränkungen machen)
Mit diesen Regeln kannst Du alle von Dir angegebenen Funktionen bearbeiten. Suche die Nullstellen etwaiger vorhandener Nenner, schaue Dir Wurzelausdrücke an, und wann diese mitunter negativ werden etc.
Viel Erfolg!
Lars
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