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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Di 25.08.2009 | | Autor: | Yujean |
| Aufgabe | | Geben Sie jeweils die Definitionslücke der Funktion an und prüfen Sie, ob es sich um eine hebbare Lücke oder um einen Pol mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel handelt. |
Guten Abend,
f(x)= [mm] \bruch{x}{x+1}
[/mm]
Dort ist doch garkeine Definitionslücke oder sehe ich das falsch?
Es gibt doch nur im Nenner die Polstelle -1 oder nicht?
danke
Yujean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 25.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Genau diese Polstelle bei [mm] $x_p [/mm] \ = \ -1$ ist auch eine Definitionslücke. Schließlich darf man diesen x-Wert nicht in die Funktionsvorschrift einsetzen, da man anderenfalls durch Null teilen würde (was bekanntermaßen verboten ist).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 25.08.2009 | | Autor: | Yujean |
Ok, das ist schon mal gut 
Das heißt dann, es handelt sich um einen Pol, aber wie bekommeich jetzt raus, ob der Pol ein Vorzeichenwechsel hat oder nicht? kann ich das nur am Graphen ablesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 25.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Entweder führst Du folgende Grenzwertbetrachtungen durch:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(-1-\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1-\bruch{1}{n}}{-1-\bruch{1}{n}+1} [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(-1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1+\bruch{1}{n}}{-1+\bruch{1}{n}+1} [/mm] \ = \ ...$$
Alternativ kannst Du aber auch untersuchen, ob bei [mm] $x_p [/mm] \ = \ -1$ eine mehrfache Nullstelle des Nenners vorliegt.
Ist diese Mehrfachheit gerade, gibt es keinen Vorzeichenwchsel.
Bei ungerade Mehrfachheit handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 25.08.2009 | | Autor: | Yujean |
Wie kann ich denn herausfinden, ob eine Mehrfache Nullstelle vorliegt??
Bei dieser Funktion
[mm] f(x)=\bruch{x^2+1}{x-1}
[/mm]
liegt eine hebbare Definitonslücke vor, ist das auch richtig? nämlich bei
[mm] D=\IR\backslash\{+1\}
[/mm]
ist das auch richtig und dann gibt es noch eine Nullstelle bei x=-1 oder?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:01 Di 25.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Yujean!
> Wie kann ich denn herausfinden, ob eine Mehrfache
> Nullstelle vorliegt??
Es liegt z.B. eine 3-fache Nullstelle des Nenners bei $x \ = \ 2$ vor, wenn im Nenner steht: $\left(x-2)^{\red{3}}$ .
> Bei dieser Funktion
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^2+1}{x-1}[/mm]
>
> liegt eine hebbare Definitonslücke vor, ist das auch
> richtig? nämlich bei
>
> [mm]D=\IR\backslash\{+1\}[/mm]
>
> ist das auch richtig und dann gibt es noch eine Nullstelle
> bei x=-1 oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Hallo!
> Hallo Yujean!
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> > Wie kann ich denn herausfinden, ob eine Mehrfache
> > Nullstelle vorliegt??
>
> Es liegt z.B. eine 3-fache Nullstelle des Nenners bei [mm]x \ = \ 2[/mm]
> vor, wenn im Nenner steht: [mm]\left(x-2)^{\red{3}}[/mm] .
>
>
>
> > Bei dieser Funktion
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{x^2+1}{x-1}[/mm]
> >
> > liegt eine hebbare Definitonslücke vor, ist das auch
> > richtig? nämlich bei
> >
> > [mm]D=\IR\backslash\{+1\}[/mm]
> >
> > ist das auch richtig und dann gibt es noch eine Nullstelle
> > bei x=-1 oder?
>
>
Nein, davon ist leider nichts richtig. Die Funktion hat eine nicht definierte Stelle bei x=+1, daher ist der Definitionsbereich [mm]D=\IR\backslash\{+1\}[/mm] korrekt. ABER diese Lücke ist NICHT hebbar, weil der Zähler keine Nullstelle hat. Es ist ein einfacher Pol.
Und ob eine Lücke hebbar ist oder ein Pol mit/ohne VZW ist, kann man NICHT alleine am Nenner entscheiden.
Hebbar ist die Lücke, wenn Zähler und Nenner die gleichen Nullstellen haben und die des Zählers von höherem oder gleichem Grad sind.
Ich mach es mal an Beispielen:
[mm] \frac{(x+1)}{(x+1)(x+1)(x-1)}
[/mm]
kann gekürzt werden zu [mm] \frac{1}{(x+1)(x-1)} [/mm] . Hier ist x=-1 nun einfache Nullstelle des Nenners, daher Pol mit VZW.
[mm] \frac{(x+1)}{(x+1)(x+1)(x+1)(x-1)}
[/mm]
kann gekürzt werden zu [mm] \frac{1}{(x+1)(x+1)(x-1)} [/mm] . Hier ist x=-1 nun doppelte Nullstelle, daher Pol ohne VZW.
Und jetzt:
[mm] \frac{(x+1)(x+1)}{(x+1)(x+1)(x-1)}
[/mm]
kann gekürzt werden zu [mm] \frac{1}{(x-1)}. [/mm] Die problematische Stelle x=-1 ist nun verschwunden, es gibt dort keinen Pol., und man kann sogar x=-1 einsetzen.
Das ist eine hebbare Lücke, denn in die ursprüngliche Funktion darf man -1 NICHT einsetzen, man kann aber mit der gekürzten Version einen Funktionswert ermitteln, mit dem man die Lücke beheben kann.
(Bei x=+1 gibts im Beispiel immer nen Pol...)
Allgemein muß man also auf Zähler UND Nenner achten, um die Fälle zu unterscheiden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:53 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Loddar |
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![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Autsch! D abin ich ja schön drauf reingefallen und "wollte" im Zähler ein [mm] $x^2 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ 1$ gesehen haben.
Gruß
Loddar
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