Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert der Determinante
[mm] \vmat{ \sin(2x) & -\cos(2x) & 1 \\ \sin(x) & -\cos(x) & \cos(x) \\
\cos(x) & \sin(x) & \sin(x) } [/mm] |
Klar ich mach das mit der Regel nach Sarrus, aber ich bekomm da nur Bullshit raus, weil ich nich weiß wie ich die Terme zusammenfassen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Verzweifelthoch23!
Wie weit kommst Du denn? Poste doch mal Deine Ansätze.
Dann kannst Du auch evtl. folgende Beziehungen verwenden:
[mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$
[/mm]
[mm] $\cos(2x) [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(x)-\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-2*\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos^2(x)-1$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
tja ich steh einfach mit dem Herrn Sinus und Frau cosinus auf Kriegsfuss...
meine Ansatz wäre:
(sin(2x)*-cos(x)*sin(x))+(-cos(2x)*cos(x)*cos(x))+(1*sin(x)*sin(x))
-(cos(x)*-cos(x)*1)-(sin(x)*cos(x)*sin(2x))-(sin(x)*sin(x)*-cos(2x))
und wie ich das dann zusammenfasse ist dann meine Große Frage.
|
|
|
| |
|
Hallo Verzweifelthoch23!
Und nun setze mal die o.g. Beziehungen ein und fasse zusammen. Ich erhalte dann letztendlich einen ziemlich "einfachen" Ausdruck. 
Tipp: Verwende für das erste [mm] $\cos(2x)$ [/mm] den Ausdruck $ [mm] \cos(2x) [/mm] \ = \ [mm] 1-2\cdot{}\sin^2(x) [/mm] $ und beim 2. dann $ [mm] \cos(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\cos^2(x)-1 [/mm] $ , damit Du keine Terme mit [mm] $(...)^4$ [/mm] erhältst.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
wenn ich das alles anwende, was zu gesagt hast bekomme ich:
[mm] 1+(\sin(2x)*(-\cos(x))*\sin(x))-(\sin(x)*\cos(x)*\sin(2x))+
[/mm]
((1-2 [mm] \sin^2(x))* \cos^2(x))-(\sin^2(x) [/mm] * (2 [mm] \cos^2(x) [/mm] -1))
aber wie soll ich das denn dann noch weiter vereinfachen??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Do 26.07.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
ausserdem gilt auch
[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1
[/mm]
Geht glaub ich auch noch ein,falls ich es richtig ueberflogen hab .
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Do 26.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
du hast die Identität [mm] sin(2x) = 2* sin(x) * cos(x)[/mm] noch nicht eingesetzt. Tun das und fasse alle Terme zusammen.
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
so.. jetzt hab ich alles nochmal eingesetzt und dann zusammengefasst und hab als Endergebnis für die Determinante nun -2 raus.
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
> so.. jetzt hab ich alles nochmal eingesetzt und dann
> zusammengefasst und hab als Endergebnis für die
> Determinante nun -2 raus.
> Ist das richtig?
Ich erhalte 0. Habe dieses Ergebnis im Spezialfall $x=1$ mit einem CAS (das leider nicht in der Lage ist zu erkennen, dass diese Determinante für alle $x$ gleich $0$ ist) nachgeprüft. Ist es möglich, dass Du einen kleinen Vorzeichenfehler gemacht hast? Sagen wir $-1-1$ anstelle von $-1+1$?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Do 26.07.2007 | | Autor: | Somebody |
Ich schreibe vielleicht besser kurz auf, wie ich auf dieses Ergebnis gekommen bin. Ich entwickle die Determinante nach der ersten Zeile und berechne die dazu benötigten [mm] $2\times [/mm] 2$-Unterdeterminanten gleich im Kopf (inklusive Vereinfachung):
[mm]\begin{vmatrix}\sin(2x)&-\cos(2x) & 1\\ \sin(x) & -\cos(x) & \cos(x)\\\cos(x) & \sin(x) & \sin(x)\end{vmatrix}=\sin(2x)\cdot(-\sin(2x)) \;\;+ \;\;\cos(2x)\cdot (-\cos(2x))\;\;+\;\;1 = -(\sin^2(2x)+\cos^2(2x))+1 = -1+1 = 0[/mm]
|
|
|
| |
|
ah ha...
das is auch gleich viel übersichtlicher wenn man ne LaPlace Entwicklung der Determinaten macht. Hab das mit der Regel nach Sarrus gemacht und da isses viel unübersichtlicher.
Danke nochmal. Hast mir sehr gut geholfen!
|
|
|
| |
|
Das kann doch nicht sein...
jetzt wollt ich das nochmal nachrechnen und komm wieder bzw. immernoch nicht auf 0
ist poste jetzt mal meinen genauen Rechenweg:
[mm] \vmat{ \sin(2x) & -\cos(2x) & 1 \\ \sin(x) & -\cos(x) & \cos(x) \\ \cos(x) & \sin(x) & \sin(x) }
[/mm]
so ich entwickle nun auch nach der ersten Zeile und erhalte drei 2x2 Unterderterminanten und demzufolge drei algebraische Komplemente
[mm] D_1_1 [/mm] = [mm] -(\cos(x)*\sin(x))-(\cos(x)*\sin(x))
[/mm]
[mm] D_1_2 [/mm] = [mm] \sin^2(x)-\cos^2(x)
[/mm]
[mm] D_1_3 [/mm] = [mm] \sin^2(x)+\cos^2(x)
[/mm]
und demzufolge die algebraischen Komplemente:
[mm] A_1_1 [/mm] = [mm] -(\cos(x)*\sin(x))-(\cos(x)*\sin(x))
[/mm]
[mm] A_1_2 [/mm] = [mm] +\sin^2(x)-\cos^2(x)
[/mm]
[mm] A_1_3 [/mm] = [mm] -\sin^2(x)+\cos^2(x)
[/mm]
um jetzt die "endgültige" Determinante ausrechnen zu können
muss ich ja noch jedes Algebraische Komplement mit dem entsprechenden Faktor aus der Matrix multiplizieren.
Also:
[mm] A_1_1 [/mm] = [mm] \sin(2x)*(-(\cos(x)*\sin(x))-(\cos(x)*\sin(x)))
[/mm]
[mm] A_1_2 [/mm] = [mm] -\cos(2x)*(\sin^2(x)-\cos^2(x))
[/mm]
[mm] A_1_3 [/mm] = [mm] 1*(-\sin^2(x)+\cos^2(x))
[/mm]
und dann komm ich nich weiter, geschweige denn auf 0
Bitte helft mir doch noch einmal.
|
|
|
| |
|
> Das kann doch nicht sein...
> jetzt wollt ich das nochmal nachrechnen und komm wieder
> bzw. immernoch nicht auf 0
> ist poste jetzt mal meinen genauen Rechenweg:
> [mm]\vmat{ \sin(2x) & -\cos(2x) & 1 \\ \sin(x) & -\cos(x) & \cos(x) \\ \cos(x) & \sin(x) & \sin(x) }[/mm]
>
> so ich entwickle nun auch nach der ersten Zeile und erhalte
> drei 2x2 Unterderterminanten und demzufolge drei
> algebraische Komplemente
>
> [mm]D_1_1 = -(\cos(x)*\sin(x))-(\cos(x)*\sin(x)) \red{=-\sin(2x)}[/mm]
> [mm]D_1_2 = \sin^2(x)-\cos^2(x) = \red{-\cos(2x)}[/mm]
> [mm]D_1_3[/mm] = [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1[/mm]
>
> und demzufolge die algebraischen Komplemente:
> [mm]A_1_1[/mm] = [mm]-(\cos(x)*\sin(x))-(\cos(x)*\sin(x))[/mm]
> [mm]A_1_2[/mm] = [mm]+\sin^2(x)-\cos^2(x)[/mm]
> [mm]A_1_3[/mm] = [mm]\red{-}\sin^2(x)+\cos^2(x)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Besser wäre: [mm] $A_1_3 [/mm] = [mm] \sin^2(x)+\cos^2(x)$
[/mm]
>
> um jetzt die "endgültige" Determinante ausrechnen zu
> können
> muss ich ja noch jedes Algebraische Komplement mit dem
> entsprechenden Faktor aus der Matrix multiplizieren.
> Also:
> [mm]A_1_1[/mm] = [mm]\sin(2x)*(-(\cos(x)*\sin(x))-(\cos(x)*\sin(x)))[/mm]
> [mm]A_1_2[/mm] = [mm]-\cos(2x)*(\sin^2(x)-\cos^2(x))[/mm]
> [mm]A_1_3[/mm] = [mm]1*(\red{-}\sin^2(x)+\cos^2(x))[/mm]
Besser wäre: [mm] $A_1_3 [/mm] = [mm] 1*(\sin^2(x)+\cos^2(x))$
[/mm]
>
> und dann komm ich nich weiter, geschweige denn auf 0
>
> Bitte helft mir doch noch einmal.
Hier alles an einem Klotz:
[mm]\begin{array}{clcll}
\text{(1)} & \begin{vmatrix}\sin(2x) & -\cos(2x) & 1\\ \sin(x) & -\cos(x) & \cos(x)\\\cos(x) & \sin(x) & \sin(x)\end{vmatrix} &=& \sin(2x)\cdot \blue{\begin{vmatrix}-\cos(x) & \cos(x)\\\sin(x) & \sin(x)\end{vmatrix}}-(-\cos(2x))\cdot \blue{\begin{vmatrix}\sin(x) & \cos(x)\\\cos(x) & \sin(x)\end{vmatrix}}+1\cdot\blue{\begin{vmatrix}\sin(x) & -\cos(x)\\\cos(x) & \sin(x)\end{vmatrix}}\\
\text{(2)} &&=& \sin(2x)\cdot \blue{(-\sin(2x))}+\cos(2x)\cdot \blue{(-\cos(2x))}+1\cdot \blue{1}\\[.3cm]
\text{(3)} &&=& -(\sin^2(2x)+\cos^2(2x))+1\\[.3cm]
\text{(4)} &&=& -1+1 = 0
\end{array}[/mm]
|
|
|
|
