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Hallo zusammen
Seien n>m>0 zwei natürlichen Zahlen, und seien $ A [mm] \in \M(nxm, \IR) [/mm] $ und $ B [mm] \in \M(mxn, \IR) [/mm] $ zwei beliebige Matrizen. Beweise, dass
$ det(AB)=0 $
Wie soll ich damit umgehen?
Falls det(AB)=0 ist, ist Rang(AB)< n. Andererseits Rang(A) $ [mm] \le [/mm] $ Rang(A) und Rang $ [mm] \le [/mm] $ Rang(B). Daraus folgt, wenn RangA und RangB=n sind. det(AB)=0.
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Ich brauche Hilfe oder wenn möglich die genaue Lösung.
Danke im Voraus
Sauerstoff
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:44 So 23.01.2005 | | Autor: | Guerk |
Hallo,
die Behauptung ist doch gar nicht richtig?
Sei zum Beispiel n=m und wähle [mm] A=E_n [/mm] (die n [mm] \times [/mm] n-Einheitsmatrix) und [mm] B=E_n. [/mm] Dann ist [mm] det(AB)=det(E_n)=1?
[/mm]
Hast du vielleicht irgendwelche Voraussetzungen vergessen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 So 23.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
n>m>0 ist Vorraussetzung...
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 So 23.01.2005 | | Autor: | Guerk |
Hm, hatte das irgendwie als n,m>0 gelesen... dann vergesst meine Antwort einfach. 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 So 23.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also A ist eine nxm Matrix und beschreibt doch deshalb eine Abbildung $ [mm] \IR^m \to \IR^n [/mm] $.
B analog : $ [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] $
also zusammen :
AB: $ [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] $
Wohlgemerkt: B wird zuerst ausgeführt und n>m , also ist der Kern von B nicht trivial und danach wird erst A ausgeführt, also ist (AB) als Abbildung sicher nicht surjektiv, d.h. der Rang ist nicht voll.
Je nachdem, wie genau eure Determinanten-Funktion nun definiert ist, kannst du dann mit Gauß-algo und Regeln wie : "Wenn eine Nullzeile existiert, ist det=0"
argumentieren.
Ich hoffe, es geht so als Fahrplan - sollte man aber nochmals genau drüber schauen.
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge
Danke für deine Hilfe aber leider habe ich nicht genau verstanden. Könntest du noch alles genau erklären, wenn möglich?
Danke im Voraus für deine Bemühungen
Sauerstoff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Mo 24.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Sauerstoff,
ich habe das Gefühl, dass dies dein Standard-Text ist, wenn man dir nicht sofort die gesamte Lösung schreibt.
Ich habe drei Absätze geschrieben - die alle im Detail genau zu erklären macht ca. 3 DIN A4 Seiten - dazu habe ich nicht unbedingt Lust
(und eigentlich auch keine Zeit - hab bald'ne wichtige Prüfung)
also, setzt dich doch mal etwas damit auseinander und frage speziellere Fragen zu dem Gesagtem.
Verstehe mich nicht falsch: Ich bin gerne bereit Unklarheiten zu erklären und lerne gerne dazu, wenn ich etwas schlecht erklärt habe, aber einfach nur alles genauer kann man auch so deuten, dass du nichts machen willst.
Letzteres will ich dir nicht unterstellen, deshalb frage bitte ein wenig genauer nach.
[btw: bist du auch "IceMan" ?]
viele liebe Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Do 03.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, man kann es so machen wie von dir angedeutet, falls ihr entsprechende Sätze zur Verfügung habt.
Es gilt für die [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix $AB$ gerade:
$Rang(AB) [mm] \le \min\{Rang(A),Rang(B)\} \le \min\{n,m\}=m
also:
[mm] $\det(AB)=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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