Determinante Abbildungsmatrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mi 04.01.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | [mm] V=C^{n} [/mm] kann zum einen als n-dimensionaler C_vektorraum mit Standardbasis [mm] B_{C}=(e_{j})_{j=1,...,n} [/mm] interpretiert werden, zum anderen aber auch als R-Vektorraum der Dimension 2n mit kanonischer Basis [mm] B_{R}=(e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},...,e_{n},ie_{n}). [/mm] Es sei nun f einen beliebige Abbildung aus [mm] End_{C}(V)
[/mm]
a) Beweise, dass f auch R-linear und damit einen Abbildung aus [mm] End_{R}(V) [/mm] ist.
b) Zeige: [mm] det(_{B}_{R} M_{B}_{R}(f))=|det(_{B}_{C} M_{B}_{C}(f))|^{2} [/mm] |
bei B) hab ich leider gar keine Ahnung.
bei a) soll man ja wahrscheinlich die bedingungen
1. f(x+y)=f(x)+f(y) und 2. [mm] f(\lambda x)=\lambda [/mm] f(x) nachrechnen, oder?
Danke schonmal für eure Hilfe...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie berechnest du den det(M)? schreib das für die 2 matrizen hin.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 Do 05.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Ich scheitere ja schon daran, dass ich nicht weiß wie die beiden Matrizen aussehen..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Do 05.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die komplexe matrix hat [mm] n^2 [/mm] komplexe Einträge die Spalten Bilder der n komplexen Basisvektoren, die reelle Matrix [mm] (2n)^2 [/mm] reelle Einträge.
Fang mal mit ner [mm] 2\times [/mm] 2 komplexen Matrix an um reinzukommen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Fr 06.01.2012 | | Autor: | rollroll |
2x2 komplexe matrix:
[mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & i }
[/mm]
so??
und bei der a), stimmt es, dass ich die beiden im 1.post angegebenen bedingungen prüfen muss??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist zwar ne komplexe 2*2 matrix, aber zu speziell
richtig wäre
[mm] \pmat{ a_{11}+i*b_{11} & a_{12}+ib_{12} \\ a_{21}+ib_{21} & a_{22}+ib_{22} }
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Fr 06.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Und wie kommt man jetzt auf
[mm] _{B}_{C} M_{B}_{C}(f), [/mm] und bei der a) weiß ich immenoch nicht ob man Vorgehen richtig ist...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
b)beides ausrechnen!
a) ja unter der Vors. dass f linear auf [mm] \IC [/mm] ist die linearität auf [mm] \IR [/mm] zeigen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 06.01.2012 | | Autor: | rollroll |
> Hallo
> b)beides ausrechnen!
Ja aber genau das ist doch mein Problem, ich weiß nicht, wie die Abbildungsmatrix aussehen soll?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh ich nicht! ich hab doch eine hingeschreiben.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:46 Fr 06.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Achso, also gilt:
$ [mm] _{B}_{C} M_{B}_{C}(f), [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ a_{11}+i\cdot{}b_{11} & a_{12}+ib_{12} \\ a_{21}+ib_{21} & a_{22}+ib_{22} } [/mm] $ ? Und davon dann die det bestimmen?
Ich bräuchte noch Hilfe zur a) ich kenne zwar die zu überprüfenden bedingungen, weiß aber nicht wie diese formal in diesem Fall aussehen solln... Also, wie man's aufschreibt...
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | [mm]V=C^{n}[/mm] kann zum einen als n-dimensionaler C_vektorraum mit
Standardbasis [mm]B_{C}=(e_{j})_{j=1,...,n}[/mm] interpretiert
werden, zum anderen aber auch als R-Vektorraum der
Dimension 2n mit kanonischer Basis
[mm]B_{R}=(e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},...,e_{n},ie_{n}).[/mm] Es sei
nun f einen beliebige Abbildung aus [mm]End_{C}(V)[/mm]
a) Beweise, dass f auch R-linear und damit einen Abbildung
aus [mm]End_{R}(V)[/mm] ist.
b) Zeige: [mm]det(_{B}_{R} M_{B}_{R}(f))=|det(_{B}_{C} M_{B}_{C}(f))|^{2}[/mm] |
Hallo,
bevor Du irgendetwas tust, solltest Du mal feststellen, ob Du den in der Aufgabenstellung geschilderten Sachverhalt verstanden hast, nämlich den, daß Du den [mm] \IC^n [/mm] einmal als n-dimensionalen VR über [mm] \IC [/mm] auffassen kannst, aber auch als 2n-dimensionalen VR über [mm] \IR. [/mm]
Die Standardbasen sind angegeben.
Nun soll f eine beliebige [mm] \IC-lineare [/mm] Abbildung aus dem [mm] \IC^n [/mm] in den [mm] \IC^n [/mm] sein.
Was bedeutet das? Für alle [mm] x,y\in \IC^n [/mm] und für alle [mm] \lambda\in \IC [/mm] gelten die beiden Linearitätsbedingungen. (Wenn Du sie Dir an dieser Stelle notierst, ist das kein Fehler).
> bei a) soll man ja wahrscheinlich die bedingungen
> 1. f(x+y)=f(x)+f(y) und 2. [mm]f(\lambda x)=\lambda[/mm] f(x)
> nachrechnen, oder?
Ja, bloß Du mußt schon gescheit aufschreiben, was zu zeigen ist und nicht nur so larifarimäßig.
Zu zeigen ist:
Für alle [mm] x,y\in \IC^n [/mm] und für alle [mm] \mu\in \IR [/mm] gilt
1. f(x+y)=f(x)+f(y) und
2. [mm] $f(\lambda x)=\lambda$ [/mm] f(x)
Mit 1. bist Du bereits fertig. Warum? Worauf kannst Du Dich berufen?
Mit 2. bist Du auch schon fertig, denn??? Bedenke, [mm] daß$f(\lambda x)=\lambda$ [/mm] f(x) für alle [mm] \lambda\in \IC [/mm] gilt.
> bei B) hab ich leider gar keine Ahnung.
Das ist traurig.
Laß uns leduarts Vorschlag, das Ganze mal für den [mm] \IC^2 [/mm] durchzuspielen, aufgreifen.
Wir betrachten also eine [mm] \IC-lineare [/mm] Abbildung [mm] f:\IC^2\to \IC^2.
[/mm]
(Spruch: lineare Abbildungen sind durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.)
Wir brauchen also die Funktionswerte der Vektoren von [mm] B_{\IC}, [/mm] es sei
[mm] f(e_1):=(a_1_1+b_1_1i)e_1+(a_2_1+b_2_1i)e_2
[/mm]
[mm] f(e_2):=(a_1_2+b_1_2i)e_1+(a_2_2+b_2_2i)e_2.
[/mm]
Stell nun die Darstellungsmatrix von f bzgl [mm] B_{\IC} [/mm] auf.
(Spruch: in den Spalten der Darstellungsmatrix stehen ... - sicher hab' ich Dir den auch schon um Auswendiglernen ans Herz gelegt. Mir entgeht (fast) keiner.)
Also? [mm] _{B_{\IC}}M_{B_{\IC}}(f)= [/mm] ...
So, nun machen wir uns daran, die Matrix [mm] _{B_{\IR}}M_{B_{\IR}}(f) [/mm] zu bestimmen.
Welches Format wird diese Matrix haben?
Was steht in den Spalten dieser Matrix? (Denk an den Spruch!)
Was mußt Du also berechnen?
Und nun versuche, es zu berechnen. Nutze dazu die [mm] \IC-Linearität [/mm] von f.
Anschließend kommen dann die Determinanten, aber das dürfte das geringste Problem sein.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 07.01.2012 | | Autor: | rollroll |
zur a)
Also: Man weiß , dass die Linearität für eine Abbildung aus dem [mm] C^{n} [/mm] in den [mm] C^{n} [/mm] gilt. Es gilt für alle $ [mm] x,y\in \IC^n [/mm] $ und $ [mm] \lambda\in \IC [/mm] $:
f(x+y)=f(x)+f(y) und [mm] \lambda [/mm] f(x) = [mm] f(\lambda [/mm] x).
Darf man dann daraus folgern, da IR [mm] \subset [/mm] IC, dass dann auch
Für alle x, y [mm] \in C^{n} [/mm] und [mm] \lambda \in [/mm] IR gilt
1. f(x+y)=f(x)+f(y) und
2. [mm] \lambda [/mm] f(x) = [mm] f(\lambda [/mm] x)?
zu b) Den Spruch hast du mir noch nicht zum Auswendiglernen ans Herz gelegt...
$ [mm] _{B_{\IC}}M_{B_{\IC}}(f)= [/mm] $ [mm] \pmat{ a_{11}+b_{11}i & a_{12}+b_{12}i \\ a_{21}+b_{21}i & a_{22}+b_{22}i } [/mm] ?
|
|
|
| |
|
> zur a)
> Also: Man weiß , dass die Linearität für eine Abbildung
> aus dem [mm]C^{n}[/mm] in den [mm]C^{n}[/mm] gilt. Es gilt für alle [mm]x,y\in \IC^n[/mm]
> und [mm]\lambda\in \IC [/mm]:
> f(x+y)=f(x)+f(y) und [mm]\lambda[/mm] f(x) =
> [mm]f(\lambda[/mm] x).
>
> Darf man dann daraus folgern, da IR [mm]\subset[/mm] IC, dass dann
> auch
> Für alle x, y [mm]\in C^{n}[/mm] und [mm]\lambda \in[/mm] IR gilt
> 1. f(x+y)=f(x)+f(y) und
> 2. [mm]\lambda[/mm] f(x) = [mm]f(\lambda[/mm] x)?
Hallo,
ja, genau.
1. gilt sowieso, und 2. gilt, weil jede reelle Zahl auch eine komplexe ist.
>
> zu b) Den Spruch hast du mir noch nicht zum Auswendiglernen
> ans Herz gelegt...
Also:
in den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] _BM_A(f) [/mm] von f bzgl. der Basen A im Startraum und B im Zielraum stehen die Bilder der Basisvektoren von A unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl B.
>
>
> [mm]_{B_{\IC}}M_{B_{\IC}}(f)=[/mm] [mm]\pmat{ a_{11}+b_{11}i & a_{12}+b_{12}i \\
a_{21}+b_{21}i & a_{22}+b_{22}i }[/mm]
> ?
Für [mm] _{B_{\IC}}M_{B_{\IC}}(f) [/mm] hast Du das ja schon perfekt umgesetzt, jetzt die andere.
Schreib Dir das Sprüchlein auf mit den richtigen Basen. Dann kann eigentlich nichts mehr schiefgehen.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 07.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Da gilt:
$ [mm] B_{R}=(e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},...,e_{n},ie_{n}). [/mm] $
hat die Matrix wohl [mm] (2n)^{2} [/mm] Einträge.
In den Spalten stehen die basisvektoren aus IR unter der Abb f in Koordinaten bzgl IR.
Das Problem , welches ich habe, ist, dass die Matrix ja dann nur reelle Einträge enthalten darf (gemäß dem Spruch), aber die Basisvektoren auch komplexe Zahlen enthalten. Soll man diese dann quadrieren, um aus i ,,-1'' zu erhalten?
|
|
|
| |
|
> Da gilt:
> [mm]B_{R}=(e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},...,e_{n},ie_{n}).[/mm]
> hat die Matrix wohl [mm](2n)^{2}[/mm] Einträge.
Hallo,
genau, es ist eine [mm] 2n\times [/mm] 2n-Matrix.
> In den Spalten stehen die basisvektoren aus IR unter der
> Abb f in Koordinaten bzgl IR.
Nein. Was sollen "Basisvektoren aus [mm] \IR" [/mm] sein.
Du meinst die Basisvektoren der Basis [mm] B_{\IR} [/mm] und solltest das auch so schreiben.
> Das Problem , welches ich habe, ist, dass die Matrix ja
> dann nur reelle Einträge enthalten darf (gemäß dem
> Spruch), aber die Basisvektoren auch komplexe Zahlen
> enthalten. Soll man diese dann quadrieren, um aus i ,,-1''
> zu erhalten?
Bloß nicht!
Manchmal muß man einfach mal anfangen.
Was ist denn [mm] f(e_1), [/mm] und wie kannst Du das als Linearkombination der Basisvektoren von [mm] B_{\IR} [/mm] schreiben?
Dann überlege Dir [mm] f(ie_1).
[/mm]
Und dann schaun wir mal.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Ich habe den Verlauf hier gespannt verfolgt und dachte mir, ich probier sie auch mal zu lösen. Allerdings hänge auch ich an einer Stelle: Die Matrix habe ich ausgerechnet, allerdings bin ich mir etwas unschlüssig, was stimmt:
f(e1) = a11 e1 + 0 i e1 + a13e2 + 0 ie2
oder
f(e1) = a11e1 + a21 i i e1 + a31e2 + a41i i e2 ? Die zweite Möglichkeit ist sicher allgemeiner, aber ist sie auch erlaubt?
Wenn ich aber nun die Matrix aufgestellt habe (so oder so), hab ich überhaupt keine Ahnung, wie ich auf die Determinante kommen soll....kann mir da jemand einen Tipp geben?
|
|
|
| |
|
> Ich habe den Verlauf hier gespannt verfolgt
Hallo,
gell, das ist besser als ein Krimi.
> und dachte mir,
> ich probier sie auch mal zu lösen. Allerdings hänge auch
> ich an einer Stelle: Die Matrix habe ich ausgerechnet,
> allerdings bin ich mir etwas unschlüssig, was stimmt:
>
> f(e1) = a11 e1 + 0 i e1 + a13e2 + 0 ie2
>
> oder
>
> f(e1) = a11e1 + a21 i i e1 + a31e2 + a41i i e2 ? Die zweite
> Möglichkeit ist sicher allgemeiner, aber ist sie auch
> erlaubt?
Du möchtest doch jetzt auch die Abbildungsmatrix bzgl der Basis [mm] B_{\IR} [/mm] aufstellen, richtig?
Bzgl der Frage, was [mm] f(e_1) [/mm] ist, gibt's keinerlei Spielraum, denn die Funktion wurde ja bereits definiert.
Es war
$ [mm] f(e_1):=(a_1_1+b_1_1i)e_1+(a_2_1+b_2_1i)e_2 [/mm] $.
Um die gesuchte Matrix aufzustellen muß dies nun als [mm] \IR-Linearkombination [/mm] von [mm] B_{\IR}=(e_1, ie_1, e_2, ie_2) [/mm] geschrieben werden.
Also [mm] f(e_1):=(a_1_1+b_1_1i)e_1+(a_2_1+b_2_1i)e_2 $=...e_1+...ie_1+...e_2+...ie_2=\vektor{...\\...\\...\\...}_{(B_{\IR}}.
[/mm]
Die Koeffizienten ergeben "gestapelt" die gesuchte erste Soalte der Matrix.
Als nächstes überlege Dir dann, was [mm] f(ie_1) [/mm] ist.
Es gibt hier keinen Spielraum: wir kennen [mm] f(e_1) [/mm] und wissen, daß die Abbildung [mm] \IC-linear [/mm] ist.
>
> Wenn ich aber nun die Matrix aufgestellt habe (so oder so),
> hab ich überhaupt keine Ahnung, wie ich auf die
> Determinante kommen soll....kann mir da jemand einen Tipp
> geben?
Hm? Ausrechnen...
Vielleicht verstehe ich die Frage nicht richtig...
Achso, eine Zahl wirst Du da nicht raubekommen. Sollst Du ja auch nicht. Nur zeigen, daß $ [mm] det(_{B}_{R} M_{B}_{R}(f))=|det(_{B}_{C} M_{B}_{C}(f))|^{2} [/mm] $.
Aber warten wir doch erstmal auf die Matrix.
LG Angela
>
|
|
|
| |
|
Da rollroll scheinbar sprachlos geworden ist, ich aber jetzt unbedingt wissen will, wie diese Determinante aussieht, treib ich das ganze mal bissel vorran.
Also:
[mm] \pmat{ a11 & -b11 & a12 & -b12 ... & a1n & -b1n \\ b11 & a11 & b12 & a12 ... & b1n & a1n \\ a21 & -b21 & a22 & -b22 ... & a2n & -b2n \\b21 & a21 & b22 & a22 ... & b2n & a2n \\ ... \\ am1 & -bm1 & am2 & -bm2 ... & amn & -bmn \\ bm1 & am1 & bm2 & am2 ... & bmn & amn } [/mm] = [mm] B\IR [/mm] Matrix ;). Die andre hatten wir ja für 2 X 2 schon da stehen, sodass ich es mir jetzt erspare die auch noch aufzuschreiben. Nun hab ich da aber so ein Riesendingens da stehen - und wenn ich jetzt mit zb Laplaceschem Entwicklungssatz operiere, dann wirds nur riesig kompliziert. Geht das Berechnen der Determinante einfacher? Dass es keine Zahl ist, weiß ich natürlich ;). Ich habs für 2 X 2 mal nachgerechnet, das stimmt, aber es is super viel zu rechnen ,)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst das einfach mit laplace und vollst. Induktion machen.
für die 1*1 bzw 3*2 matrix ist das ja trivial.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Naja, für ne 3X2 Matrix existiert doch gar keine Determinante. Es müsste schon 3x3 sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Mo 09.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Könnte vielleicht mal kurz jemand erklären wie MissPocahontas auf die
Matrix kommt??
$ [mm] \pmat{ a11 & -b11 & a12 & -b12 ... & a1n & -b1n \\ b11 & a11 & b12 & a12 ... & b1n & a1n \\ a21 & -b21 & a22 & -b22 ... & a2n & -b2n \\b21 & a21 & b22 & a22 ... & b2n & a2n \\ ... \\ am1 & -bm1 & am2 & -bm2 ... & amn & -bmn \\ bm1 & am1 & bm2 & am2 ... & bmn & amn } [/mm] $
Kann man um die Det zu bestimmen auch die matrix auf obere/untere Dreiecksgestalt brinegn und die Diagonaleneinträge multiplizieren oder dann doch lieber Lapl. Entw.satz?
|
|
|
| |
|
Also, wie man auf die Matrix kommt, hat Angela schon erklärt. Schau einfach nochmal in ihren Beitrag (einfach mal machen!). Und dann: Naja, wie du die Matrix auf obere Dreiecksgestalt bringst, will ich sehen ^^
|
|
|
| |
|
Aber ich glaub, ich bin auch zu doof für die Induktion ... irgendwie will die gar nicht klappen. Kann mir da jemand mal noch en Tipp geben?
|
|
|
| |
|
> Aber ich glaub, ich bin auch zu doof für die Induktion ...
> irgendwie will die gar nicht klappen. Kann mir da jemand
> mal noch en Tipp geben?
Hallo,
wenn Du nicht unbedingt Induktion machen willst, s. meine andere Antwort.
LG Angela
|
|
|
| |
|
> [mm]\pmat{ a11 & -b11 & a12 & -b12 ... & a1n & -b1n \\
b11 & a11 & b12 & a12 ... & b1n & a1n \\
a21 & -b21 & a22 & -b22 ... & a2n & -b2n \\
b21 & a21 & b22 & a22 ... & b2n & a2n \\
... \\
am1 & -bm1 & am2 & -bm2 ... & amn & -bmn \\
bm1 & am1 & bm2 & am2 ... & bmn & amn }[/mm]
> = [mm]B\IR[/mm] Matrix ;)
Hallo,
ich hab' mir das jetzt mal ganz grob überlegt, prüfe genau, ob ich keinen Fehler gemacht habe.
Zunächst mal kann man Zeilen und Spalten so tauschen, oder man nimmt gleich die Basis [mm] (e_1,..,e_n, ie_1, ie_n) [/mm] so daß man die Matix
[mm] \pmat{A&-B\\B&A} [/mm] bekommt.
In der Matrix A stehen die [mm] a_i_k, [/mm] in B die [mm] b_i_k.
[/mm]
Es ist det [mm] _{B_R}M(F)_{B_R}=det\pmat{A&-B\\B&A}
[/mm]
Addiere das (-i)-fache der (n+1)-ten Spalte zur 1. Spalte, der (n+2). zur 2. usw.
[mm] ...=det\pmat{A+iB&-B\\B-iA&A}
[/mm]
die unteren n Zeilen mit i multiplizieren
[mm] ...=\bruch{1}{i^n}det\pmat{A+iB&-B\\A+iB&iA}
[/mm]
subtrahiere von der (n+1)-ten Zeile die 1., von der (n+2). die 2. usw
...=
[mm] ...=\bruch{1}{i^n}det\pmat{A+iB&-B\\0&iA+B}
[/mm]
Die unteren n-Zeilen mit i multiplizieren
[mm] ...=\bruch{1}{i^{2n}}det\pmat{A+iB&-B\\0&-A+iB}=(-1)^ndet\pmat{A+iB&-B\\0&-A+iB}
[/mm]
Das ist eine Blockmatrix aus 4 [mm] n\times [/mm] n- Blöcken, und wegen der Nullmatrix hat man
...=(-1)^ndet(A+iB)det(-A+iB)=(-1)^ndet(A+iB)*(-1)^ndet(A-iB)=
Jetzt haben wir ja schonmal (denn es ist [mm] A+iB=_{B_C}M(f)_{B_C})
[/mm]
[mm] det_{B_R}M(f)_{B_R}=det(_{B_C}M(f)_{B_C})*det(\overline{_{B_C}M(f)_{B_C}}),
[/mm]
und den allerletzen Rest überlegst Du Dir selbst.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Dankeschön ;) ich studier es nachher genau. Is echt spannend, aber auch ne ganz schöne Indexschlacht. Gibts eigentlich ne Lösung ohne Induktion?
|
|
|
| |
|
> Dankeschön ;) ich studier es nachher genau. Is echt
> spannend, aber auch ne ganz schöne Indexschlacht. Gibts
> eigentlich ne Lösung ohne Induktion?
Hallo,
ja, die, die ich vorgestellt habe.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Ja, inzwischen hab ichs auch gemerkt. Vielen Dank Dir ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 10.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Nochmal zu dieser Aufgabe: Also wie man auf die det von $ [mm] _{B_R}M(F)_{B_R}=det\pmat{A&-B\\B&A} [/mm] $ kommt, konnte ich soweit nachvollziehen.
Aber wie kommt man jetzt auf det( [mm] _{B_C}M(f)_{B_C} [/mm] )?
[mm] _{B_C}M(F)_{B_C} [/mm] war ja gleich [mm] \pmat{ a_{11}+b_{11}i & a_{12}+b_{12}i & ...& a_{1n}+b_{1n}i \\ a_{21}+b_{21}i & a_{22}+b_{22}i & ... &a_{2n}+b_{2n}i \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1}+b_{m1}i & ... & .. & a_{mn}+b_{mn}i} [/mm]
|
|
|
| |
|
> Nochmal zu dieser Aufgabe: Also wie man auf die det von
> [mm]_{B_R}M(F)_{B_R}=det\pmat{A&-B\\
B&A}[/mm] kommt, konnte ich
> soweit nachvollziehen.
>
> Aber wie kommt man jetzt auf det( [mm]_{B_C}M(f)_{B_C}[/mm] )?
Hallo,
f ist eine lineare Abbildung aus dem [mm] \IC^n [/mm] in den [mm] \IC^n.
[/mm]
Wir hatten festgestellt, daß [mm] B_C=(e_1,...,e_n) [/mm] eine Basis des [mm] \IC^n [/mm] ist.
Lineare Abbildungen sind durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig beschrieben,
und weiter bekommen wir die Abbildungsmatrix bzgl [mm] B_C, [/mm] indem wir die Bilder der Basisvektoren von [mm] B_C [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] B_C [/mm] schreiben und sie in die Spalten einer Matrix stopfen.
Da die Abbildung in den [mm] \IC-VR \IC^n [/mm] geht, gibt es komplexe Zahlen [mm] ci_j [/mm] mit
[mm] f(e_1)=c_1_1e_1+c_2_1e_2+...+c_n_1e_n=\vektor{c_1_1\\c_2_1\\...\\c_n_1}_{(B_C)}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f(e_n)=c_1_ne_1+c_2_ne_2+...+c_n_ne_n=\vektor{c_1_n\\c_2_n\\...\\c_n_n}_{(B_C)}.
[/mm]
Die komplexen Zahlen [mm] c_i_j [/mm] kannst Du nun schreiben als [mm] c_i_j=a_i_j+ib_i_j [/mm] mit [mm] a_i_j, b_i_j [/mm] reell.
>
> [mm]_{B_C}M(F)_{B_C}[/mm] war ja gleich [mm]\pmat{ a_{11}+b_{11}i & a_{12}+b_{12}i & ...& a_{1n}+b_{1n}i \\
a_{21}+b_{21}i & a_{22}+b_{22}i & ... &a_{2n}+b_{2n}i \\
... & ... & ... & ... \\
a_{m1}+b_{m1}i & ... & .. & a_{mn}+b_{mn}i}[/mm]
Achso: die m stimmen hier natürlich nicht. Es müssen n sein, denn wir bilden ja in den [mm] \IC^n [/mm] ab.
LG Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 11.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Okay, aber bei der Frage ging es ja eher darum wie man jetzt die det von
$ [mm] _{B_C}M(F)_{B_C} [/mm] $ berechnet..
|
|
|
| |
|
> Okay, aber bei der Frage ging es ja eher darum wie man
> jetzt die det von
> [mm]_{B_C}M(F)_{B_C}[/mm] berechnet..
Hallo,
achso.
Nun, prinzipiell mit Laplace.
Aber es interessiert sich ja kein Mensch dafür, was genau die Determinante ist, sondern das Interesse gilt der zu zeigenden Gleichheit.
Es war ja [mm] _{B_R}M(f)_{B_R}=\pmat{A&-B\\B&A}, [/mm] und es ist mit diesen Bezeichnungen [mm] _{B_C}M(f)_{B_C}=A+iB.
[/mm]
Vielleicht hast Du das verpaßt.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 11.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Oh, ok, hab ich tatsächlich verpasst und wie zeigt man dann die Gleichheit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mi 11.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hatte angela doch angefangen und dir auch noch ein bissel eigenes Tun überlassen. Was hast du dazu bisher gemacht?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 11.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Nun, eigentlich hat angela.h.b. das in Richtung MissPocahontas gerichtet. Aber ich hab mir durchaus drüber Gedanken gemacht aber wie man von dem letzten von angela.h.b. angegebenen Schritt auf die Gleichheit kommt ist mir immernoch unklar.
|
|
|
| |
|
> Nun, eigentlich hat angela.h.b. das in Richtung
> MissPocahontas gerichtet.
Hallo,
nein, da hast Du das Forum nicht richtig verstanden.
Die Antworten sind für alle, die sich dafür interessieren, und natürlich geht man davon aus, daß Leute, die sich für die gestellte Aufgabe interessieren, den kompletten Thread verfolgen. Hast Du ja auch gemacht.
> Aber ich hab mir durchaus drüber
> Gedanken gemacht aber wie man von dem letzten von
> angela.h.b. angegebenen Schritt auf die Gleichheit kommt
> ist mir immernoch unklar.
Wenn detM= c mit [mm] c\in \IC, [/mm] wie rechnest Du denn dann [mm] |detM|^2 [/mm] aus?
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 11.01.2012 | | Autor: | rollroll |
c=a+ib
dann ist der betrag der komplexen zahl doch [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
und das quadriert ist [mm] a^{2}+b^{2} [/mm] und das ist (a+ib)(a-ib).
Vielleicht hab ich ja grad ein Brett vorm Kopf , aber mir ist immernoch nicht klar, wie ich jetzt dadurch auf [mm] det(_{B}_{R} M_{B}_{R}(f))=|det(_{B}_{C} M_{B}_{C}(f))|^{2} [/mm] schließen kann
|
|
|
| |
|
> c=a+ib
> dann ist der betrag der komplexen zahl doch
> [mm]\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm]
> und das quadriert ist [mm]a^{2}+b^{2}[/mm] und das ist
> (a+ib)(a-ib).
Hallo,
ja.
> Vielleicht hab ich ja grad ein Brett vorm Kopf , aber mir
> ist immernoch nicht klar, wie ich jetzt dadurch auf
> [mm]det(_{B}_{R} M_{B}_{R}(f))=|det(_{B}_{C} M_{B}_{C}(f))|^{2}[/mm]
> schließen kann
Bis zu welcher Stelle verstehst Du die Beweisführung?
Wenn Du sie bis zum Schluß verstehst und erst an der einzigen und letzten Stelle aussteigst, in welcher Ihr selbst denken solltet, dann solltest Du Dir exakt diese Stelle nochmal anschauen und dabei das im Hinterkopf haben, as Du oben selbst schreibst.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Do 12.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Ich verstehe es bis hierhin.
> ...=(-1)^ndet(A+iB)det(-A+iB)=(-1)^ndet(A+iB)*(-1)^ndet(A-iB)=
>
Das ist jetzt also die fertige Det von [mm] _{B_R}M(f)_{B_R} [/mm] ?
> Jetzt haben wir ja schonmal (denn es ist
> [mm]A+iB=_{B_C}M(f)_{B_C})[/mm]
das ist klar...
>
> [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}=det(_{B_C}M(f)_{B_C})*det(\overline{_{B_C}M(f)_{B_C}}),[/mm]
Und diesen Schritt verstehe ich nicht, müsste da nicht
det [mm] _{B_R}M(f)_{B_R} [/mm] = ... stehen?
Und was det von [mm] _{B_C}M(f)_{B_C} [/mm] ist, wissen wir (ich) doch noch gar nicht...
>
>
|
|
|
| |
|
> Ich verstehe es bis hierhin.
> >
> ...=(-1)^ndet(A+iB)det(-A+iB)=(-1)^ndet(A+iB)*(-1)^ndet(A-iB)=
> >
> Das ist jetzt also die fertige Det von [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}[/mm] ?
Hallo,
ich weiß halt nicht genau, was Du mit "fertige Determinante" meinst.
Die Determinante der Darstelungsmatrix im reellen VR ist dort geschrieben als produkt der Determinanten von A+iB und A-iB.
Also wahrscheinlich eher das, was Du als "unfertig" bezeichnen würdest.
>
>
> > Jetzt haben wir ja schonmal (denn es ist
> > [mm]A+iB=_{B_C}M(f)_{B_C})[/mm]
> das ist klar...
> >
> >
> [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}=det(_{B_C}M(f)_{B_C})*det(\overline{_{B_C}M(f)_{B_C}}),[/mm]
>
> Und diesen Schritt verstehe ich nicht, müsste da nicht
> det [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}[/mm] = ... stehen?
??? Da steht doch [mm] $_{B_R}M(f)_{B_R}$. [/mm] (?)
>
> Und was det von [mm]_{B_C}M(f)_{B_C}[/mm] ist, wissen wir (ich) doch
> noch gar nicht...
Wir wissen - mit den verwendeten Bezeichnungen -, daß [mm] $_{B_C}M(f)_{B_C}$=det(A+iB), [/mm] und zumindest für das, was ich tue, reicht das.
Natürlich kannst Du auch alles Laplace-mäßig ausschreiben und mit einer Menge Indizes rummachen.
Wo es bei Dir klemmt gerade ist mir nicht ganz klar.
Aber vielleicht mal dies als Anregung:
berechne mal für [mm] D:=\pmat{d_1&d_2\\d_3&d_4} [/mm] und [mm] \overline{D} [/mm] (alles komplex-konjugiert) die Determinanten und vergleiche.
Vielleicht ist das da Steinchen, daß Dir fehlt.
LG Angela
>
> >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 12.01.2012 | | Autor: | rollroll |
> >
> [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}=det(_{B_C}M(f)_{B_C})*det(\overline{_{B_C}M(f)_{B_C}}),[/mm]
> >
> > Und diesen Schritt verstehe ich nicht, müsste da nicht
> > det [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}[/mm] = ... stehen?
>
> ??? Da steht doch [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}[/mm]. (?)
>
Ja aber ich schrieb doch müsste da nicht DET [mm] _{B_R}M(f)_{B_R} [/mm] = ... stehen?
> >
> > Und was det von [mm]_{B_C}M(f)_{B_C}[/mm] ist, wissen wir (ich) doch
> > noch gar nicht...
>
> Wir wissen - mit den verwendeten Bezeichnungen -, daß
> [mm]_{B_C}M(f)_{B_C}[/mm]=det(A+iB), und zumindest für das, was ich
> tue, reicht das.
> Natürlich kannst Du auch alles Laplace-mäßig
> ausschreiben und mit einer Menge Indizes rummachen.
>
> Wo es bei Dir klemmt gerade ist mir nicht ganz klar.
Nun ich würde eben die Aufgabe gerne abschließen und raushaben dass das die Gleichheit da steht und ich den Beweis abschließen kann. Wenn ich das alles hier richtig überblicke ist die Gleichheit ja immernoch nicht gezeigt...
>
> berechne mal für [mm]D:=\pmat{d_1&d_2\\d_3&d_4}[/mm] und
> [mm]\overline{D}[/mm] (alles komplex-konjugiert) die Determinanten
> und vergleiche.
> Vielleicht ist das da Steinchen, daß Dir fehlt.
>
det ist einmal [mm] (d_1)(d_4)-(d_2)(d_3) [/mm] und dann eben dass ganze für kk.
[mm] (d_1)(d_4)+(d_2)(d_3)...
[/mm]
Mein Problem, nämlich dass ich die Gleichheit nicht sehe, bleibt aber bestehen...
> LG Angela
>
>
> >
> > >
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
> [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}=det(_{B_C}M(f)_{B_C})*det(\overline{_{B_C}M(f)_{B_C}}),[/mm]
> > >
> > > Und diesen Schritt verstehe ich nicht, müsste da nicht
> > > det [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}[/mm] = ... stehen?
> >
> > ??? Da steht doch [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}[/mm]. (?)
> >
> Ja aber ich schrieb doch müsste da nicht DET
> [mm]_{B_R}M(f)_{B_R}[/mm] = ... stehen?
Hallo,
achso. Ja, natürlich, sonst wäre die Zeile doch komplett sinnlos!
Ist damit jetzt etwa alles geklärt?
> > >
> > > Und was det von [mm]_{B_C}M(f)_{B_C}[/mm] ist, wissen wir (ich) doch
> > > noch gar nicht...
> >
> > Wir wissen - mit den verwendeten Bezeichnungen -, daß
> > [mm]_{B_C}M(f)_{B_C}[/mm]=det(A+iB), und zumindest für das, was ich
> > tue, reicht das.
> > Natürlich kannst Du auch alles Laplace-mäßig
> > ausschreiben und mit einer Menge Indizes rummachen.
> >
> > Wo es bei Dir klemmt gerade ist mir nicht ganz klar.
>
> Nun ich würde eben die Aufgabe gerne abschließen und
> raushaben dass das die Gleichheit da steht und ich den
> Beweis abschließen kann. Wenn ich das alles hier richtig
> überblicke ist die Gleichheit ja immernoch nicht
> gezeigt...
> >
> > berechne mal für [mm]D:=\pmat{d_1&d_2\\
d_3&d_4}[/mm] und
> > [mm]\overline{D}[/mm] (alles komplex-konjugiert) die Determinanten
> > und vergleiche.
> > Vielleicht ist das da Steinchen, daß Dir fehlt.
> >
> det ist einmal [mm](d_1)(d_4)-(d_2)(d_3)[/mm] und dann eben dass
> ganze für kk.
> [mm](d_1)(d_4)+(d_2)(d_3)...[/mm]
Wenn Du's vielleicht mal richtig hinschreiben würdest, also detA=... und ...=..., dann die Gesetze fürs Rechnen mit komplexen Zahlen bedenken.
Wie hängen die beiden Determnanten zusammen. Wie kannst Du die Determinante der konjugiert-komplexen Matrix in Abhängigkeit von der Det. von A schreiben.
Genau das ist der Punkt, auf den es ankommt.
>
> Mein Problem, nämlich dass ich die Gleichheit nicht sehe,
> bleibt aber bestehen...
Wenn Du den Zusammenhang zwischen der Determinante von A und der der konjugiert-komplexen Matrix notiert hast, sollte Dein Problem gelöst sein, zumindest, wenn Du noch dies tust:
Du kannst Dir auch mal den letzten von mir geposteten Schritt und das, was Du haben möchtest, hinschreiben.
So sollte Dir klar werden, wo der Dreh- und Angelpunkt ist, worüber genau Du nachdenken mußt, und im Idealfall hast Du dann die Lösung.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Do 12.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Der letzte von dir gepostete Schritt war:
[mm] det_{B_R}M(f)_{B_R}=det(_{B_C}M(f)_{B_C})\cdot{}det(\overline{_{B_C}M(f)_{B_C}}), [/mm]
Bzgl. [mm] D:=\pmat{d_1&d_2\\ d_3&d_4} [/mm] gilt:
[mm] det(D)=(d_1)(d_4)-(d_2)(d_3) [/mm] und [mm] det(\overline{D})= -(d_1)(d_4)+(d_2)(d_3) [/mm] Stimmt das überhaupt?
Wenn ja: Dann gilt: [mm] det(D)=-det(\overline{D})
[/mm]
bzw. auf diese Aufgabe angewandt: [mm] det(_B_C [/mm] M(f) [mm] _B_C) [/mm] * det [mm] (\overline{_B_C M(f) _B_C})= [/mm]
- det [mm] ((\overline{_B_C M(f) _B_C}))^{2} [/mm] Wenn man den Betrag davon nimmt fällt ja das - weg, oder?
Und es gilt ja [mm] |z|=|\overline{z}|
[/mm]
Also hääte man insgesamt: [mm] |det(_{B_C}M(f)_{B_C})\cdot{}|^{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib mal wirklich detD hin mit [mm] d_1 =a_1+ib_1 [/mm] usw
dann mit denselben Bezeichnungen [mm] det(\overline{D}
[/mm]
dann die zu D gehörige reelle marix, umgeformt wiee angela geschrieben hat. dann deren Determinante.
Du schreibst nie wirklich rechnungen sondern nur viel zu allgemeine Selbverständlichkeiten.
Dann überprüfe deine Beh. $ [mm] det(D)=(d_1)(d_4)-(d_2)(d_3) [/mm] $ und $ [mm] det(\overline{D})= -(d_1)(d_4)+(d_2)(d_3) [/mm] $
warum fragst du z.b ob das stimmt, wenn man es leicht nachrechnen kann. Irgendwie machst du zu wenig selbst. Schon ganz früh hab ich vorgeschlagen, das ganze mal mit 2 mal 2 matrizen zu machen, hast du das je?
Du musst wirklich lernen auch mal rumzurechnen und was auszuprobieren!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 12.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Was ist denn jetzt mit dem , was ich eben geschrieben habe, es wäre hilfreich zu wissen, was davon stimmt, oder ob überhaupt etw. davon stimmt, da ich bis morgen die Lösung brauche...
___________________________________________________
det(D)=(a+ib)(g+ih)-(c+id)(e+if)=ag-bh-ce+df+i(ah+bg-cf-de)
det(D konj. komplex)=ag-bh-ce+df+i(-ah-bg+cf+de)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt siehst du doch selbst, dass nicht gilt
$ [mm] det(D)=-det(\overline{D}) [/mm] $
aber es geht ja um die Beträge, also schreib die Bez zw det(D) und [mm] det(\overline{D}) [/mm] richtig hin und argumentier mit deinem richtigen |z|=|overline{z}|
und ein bisell netter mit uns umgehen wär auch schön!
ist dir mal aufgefallen wie sich der oder die andere Teilnehmerin an der Diskussion verhielt?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 12.01.2012 | | Autor: | rollroll |
man kann ja dann schreiben :
det(D)=ag-bh-ce+df+i(ah+bg-cf-de)
det(D k.k.)=ag-bh-ce+df-i(ah+bg-cf-de)
und dann gilt: |det(D)|=|det [mm] \overline{D}| [/mm]
Aber (um wieder angelas letzte Zeile aufzugreifen) man kann doch aus [mm] det(_B_RM(f)_B_R)=det(_B_CM(f)_B_C)*det(\overline{_B_CM(f)_B_C})=det(_B_C M(f)_B_C [/mm] * [mm] \overline{_B_C M(f)_B_C})=det (|_B_C M(f)_B_C|)=|det(_B_CM(f)_B_C)|
[/mm]
folgern und ich frage mich jetzt eben, wo dann das Quadrat bleibt....?
Und müsste eigentlich in angelas letzter Zeile nicht noch i-wo (als Folge der vorletzten zeile) ein [mm] (-1)^{n} [/mm] auftauchen?
|
|
|
| |
|
> man kann ja dann schreiben :
> det(D)=ag-bh-ce+df+i(ah+bg-cf-de)
> det(D k.k.)=ag-bh-ce+df-i(ah+bg-cf-de)
> und dann gilt: |det(D)|=|det [mm]\overline{D}|[/mm]
Hallo,
oder etwas anders ausgedrückt, weil es für das, was ich bereits in mundgerechten Häppchen serviert hatte, noch schöner ist:
[mm] det(\overline{D})=\overline{detD}.
[/mm]
Du kannst jetzt grad mal für Dich ganz allein im Stillen überlegen, warum das immer gilt. (Laplace und rechnen mit komplexen Zahlen.)
Und mit dieser Erkentnis hast Du's nun.
>
> Aber (um wieder angelas letzte Zeile aufzugreifen) man kann
> doch aus
> [mm]det(_B_RM(f)_B_R)=det(_B_CM(f)_B_C)*det(\overline{_B_CM(f)_B_C})=det(_B_C M(f)_B_C[/mm]
> * [mm]\overline{_B_C M(f)_B_C})=det (\green{|_B_C M(f)_B_C|})\red{=}|det(_B_CM(f)_B_C)|[/mm]
Die Definition des Betrages einer Matrix (grün) ist mir nicht bekannt, und daher muß ich auch bei der darauffolgenden Gleichheit passen. Du solltest mal in Dich gehen und feststellen, ob das Grüne womöglich eine Erfindung von Dir ist...
>
> folgern und ich frage mich jetzt eben, wo dann das Quadrat
> bleibt....?
> Und müsste eigentlich in angelas letzter Zeile nicht noch
> i-wo (als Folge der vorletzten zeile) ein [mm](-1)^{n}[/mm]
> auftauchen?
Wie lautet die vorletzte Zeile?
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:40 Fr 13.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Nun gut, wenn ich $ [mm] det(_B_RM(f)_B_R)=det(_B_CM(f)_B_C)\cdot{}det(\overline{_B_CM(f)_B_C})=det(_B_C M(f)_B_C)* \overline{det(_B_C M(f)_B_C}=|det(_B_C M(f)_B_C)|, [/mm] müsste das doch stimmen , denn die determinante ist ja eine zahl(hier eine komplexe), von der man den betrag bilden kann.
Aber wo bekomme ich für die Gleichheit zu zeigen´jetzt das Quadrat her?
|
|
|
| |
|
> Nun gut, wenn ich $
> [mm]det(_B_RM(f)_B_R)=det(_B_CM(f)_B_C)\cdot{}det(\overline{_B_CM(f)_B_C})=det(_B_C M(f)_B_C)* \overline{det(_B_C M(f)_B_C}=|det(_B_C M(f)_B_C)|,[/mm]
> müsste das doch stimmen , denn die determinante ist ja
> eine zahl(hier eine komplexe), von der man den betrag
> bilden kann.
> Aber wo bekomme ich für die Gleichheit zu zeigen´jetzt
> das Quadrat her?
Hallo,
indem Du richtig mit komplexen Zahlen rechnest...
Es ist doch [mm] z\overline{z}=|z|^2.
[/mm]
LG Angela
|
|
|
|
