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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und A = [mm] (a_{i,j}) \in \IR^{nxn} [/mm] die Matrix mit den Einträgen
[mm] a_{i,j} =\begin{cases} n, & \mbox{falls} (i,j)=(n,1) \mbox{ oder j=i+1} \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie detA. |
Hallo,
sitze gerade an dieser Aufgabe und dachte ich stelle "einfach" mal die Matrix auf von der ich dann versuche die Determinante zu bestimmen.
Nur irgendwie weiß ich nicht wie ich die Bedingungen in eine Matrix verarbeiten soll.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schon mal im voraus.
Gruß, pinkdiamond
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Hallo!
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und A = [mm](a_{i,j}) \in \IR^{nxn}[/mm] die Matrix
> mit den Einträgen
> [mm]a_{i,j} =\begin{cases} n, & \mbox{falls} (i,j)=(n,1) \mbox{ oder j=i+1} \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie detA.
> Hallo,
> sitze gerade an dieser Aufgabe und dachte ich stelle
> "einfach" mal die Matrix auf von der ich dann versuche die
> Determinante zu bestimmen.
> Nur irgendwie weiß ich nicht wie ich die Bedingungen in
> eine Matrix verarbeiten soll.
i = Zeilennummer,
j = Spaltennummer.
Die Matrix A besteht fast nur aus Einsen (siehe "sonst" bei der Fallunterscheidung), nur an ausgewählten Stellen steht ein n.
Einmal ist dies der Fall an der Stelle (i,j) = (n,1), also in der n-ten Zeile in der ersten Spalte.
Dann ist dies noch der Fall an jeder Stelle (i,j), für die gilt: j = i+1.
D.h.: In der 1. Zeile (i = 1) befindet sich ein n in der 2. Spalte (j = i+1),
in der 2. Zeile befindet sich ein n in der 3. Spalte, usw.
Insgesamt erhältst du folgende Matrix (Beispiel 6x6:)
[mm] \pmat{1 & n & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & n & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & n & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & n & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & n \\ n & 1 & 1 & 1 & 1 & 1}
[/mm]
Grüße,
Stefan
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ok, super, vielen Dank, dh. im Allgemeinen dargestellt kann ich noch ein paar .... einfügen.
Nur jetzt ist noch die Frage mit der Determinaten.
Normalerweise würde bei bestimmten Matrizen entweder direkt berechnen oder mit LaPlace entwickeln. Hier müsste ich sie ja eig mit Gauß arbeiten können um Nullen zu erzeugen. Aber wie soll ich das machen mit der Variablen n?
Lg
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Hallo,
> ok, super, vielen Dank, dh. im Allgemeinen dargestellt kann
> ich noch ein paar .... einfügen.
> Nur jetzt ist noch die Frage mit der Determinaten.
> Normalerweise würde bei bestimmten Matrizen entweder
> direkt berechnen oder mit LaPlace entwickeln. Hier müsste
> ich sie ja eig mit Gauß arbeiten können um Nullen zu
> erzeugen. Aber wie soll ich das machen mit der Variablen
> n?
Du musst dir einfach was einfallen lassen, wie du durch elementare Zeilen / Spaltenumformungen möglichst viele Nullen erzeugst.
Ein Beispiel bei der 6x6-Matrix:
$ [mm] \pmat{1 & n & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & n & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & n & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & n & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & n \\ n & 1 & 1 & 1 & 1 & 1} [/mm] $
Ziehe von jeder Spalte (außer von der ersten) die erste Spalte ab:
$ [mm] \pmat{1 & n-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & n-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & n-1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & n-1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & n-1 \\ n & 1-n & 1-n & 1-n & 1-n & 1-n} [/mm] $
Addiere nun jede Zeile (außer der letzten) auf die letzte Zeile:
$ [mm] \pmat{1 & n-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & n-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & n-1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & n-1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & n-1 \\ n + (n-1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
Netterweise habe ich unten links schon allgemein (n-1) hingeschrieben und nicht 5. 
Nun bist du dran.
Grüße,
Stefan
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