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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 So 11.12.2011 | | Autor: | qed |
| Aufgabe | | Beweisen Sie folgenden Eigenschaft hermite'scher Matrizen [mm]\forall A \in M_{nn}\IC, A=A^{\*} : det(A)\in\IR[/mm] |
Hallo alle zusammen,
in Worten heisst das ja gerade, dass die Determinante einer hermite'schen Matrix eine reelle Zahl ist. Das konnte ich mir im Fall n=2 und n=3 auch klar machen. Wir hatten schon ähnliche Aufgaben in der Vorlesung, nur klappen die angewandten Techniken hier nicht (Laplace-Entwicklung oder Umformen in eine Dreieckmatrix und/oder die vollständige Induktion). Hier krieg ich es irgenwie nicht hin.
Ich habe es auch schon mit einem Ansatz über [mm]det(\bar{A})=\bar{det(A)}[/mm] und [mm]det(A) = det(A^T)[/mm] probiert, war aber auch eine Sackgasse.
Hat jemand einen Tip für mich, vieleicht übersehe ich wieder was ganz einfaches.
Viele Grüße
qed
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 11.12.2011 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> Beweisen Sie folgenden Eigenschaft hermite'scher Matrizen
> [mm]\forall A \in M_{nn}\IC, A=A^{\*} : det(A)\in\IR[/mm]
> [mm]det(\bar{A})=\bar{det(A)}[/mm] und [mm]det(A) = det(A^T)[/mm] probiert,
> war aber auch eine Sackgasse.
Der Ansatz ist richtig. Nach Voraussetzung gilt
(1) [mm] $\det(A) [/mm] = [mm] \det(A^{\*})$,
[/mm]
wobei [mm] $A^{\*} [/mm] = [mm] \bar{A}^{T}$ [/mm] ist. Forme die rechte Seite in (1) mit [mm] $\det(A^{T}) [/mm] = [mm] \det(A)$ [/mm] und [mm] $\det(\overline{A}) [/mm] = [mm] \overline{\det(A)}$ [/mm] um. Denk dran, für eine komplexe Zahl $z$ gilt: [mm] $z=\bar{z} \Rightarrow z\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Gruß
zetamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 So 11.12.2011 | | Autor: | qed |
Hallo zetamy,
vielen Dank für Deine Hilfe. Schön dass ich doch nicht so falsch lag.
Mein Fehler lag darin, dass ich übersehen hatte dass [mm]z=\overline{z} \Rightarrow z \in \IR[/mm] gilt.
Danke nochmal.
Gruß
qed
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