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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & ...& & & n\\ 2 & 3 & 4 & ... & & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & ... & n & 1 & 2 \\ . & . & . & & & . & .& \\ . & . & . & & & . & . &\\ n & 1 & 2 & .. & & . & n-1 } [/mm] = [mm] (-1)^{n(n-1)/2} \bruch{(n+1) n^{n-1}}{2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \vmat{ * & & & & a_{n} \\ & & & . & & \\ & & . & & & \\ & a_{2} & & & & \\ a_{1} & & & & 0} [/mm] = [mm] (-1)^{n(n-1)/2} a_{1}a_{2}... a_{n} [/mm] |
So da bin ich auch schon wieder.. 2 Aufgaben habe ich - so wie ihr mir gesagt habt - in die Dreiecksmatiz überführt.. ist echt ne super sache, aber bei den beiden Aufgaben hier komme ich jetzt wieder überhaupt net weiter.. was kann ich denn hier machen?
Danke im Voraus!
Lg,
Sherin
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Hallo Sherin!
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\vmat{ 1 & 2 & 3 & ...& & & n\\ 2 & 3 & 4 & ... & & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & ... & n & 1 & 2 \\ . & . & . & & & . & .& \\ . & . & . & & & . & . &\\ n & 1 & 2 & .. & & . & n-1 }[/mm]
> = [mm](-1)^{n(n-1)/2} \bruch{(n+1) n^{n-1}}{2}[/mm]
> [mm]\vmat{ * & & & & a_{n} \\ & & & . & & \\ & & . & & & \\ & a_{2} & & & & \\ a_{1} & & & & 0}[/mm]
> = [mm](-1)^{n(n-1)/2} a_{1}a_{2}... a_{n}[/mm]
> So da bin ich auch
> schon wieder.. 2 Aufgaben habe ich - so wie ihr mir gesagt
> habt - in die Dreiecksmatiz überführt.. ist echt ne super
> sache, aber bei den beiden Aufgaben hier komme ich jetzt
> wieder überhaupt net weiter.. was kann ich denn hier
> machen?
Bei der ersten würde ich mal die letzte Zeile minus die vorletzte rechnen, dann die vorletzte minus die vorvorletzte usw.. Dann hast du schon die ganze erste Spalte voller Einsen. Dann kannst du von jeder Zeile die erste abziehen und hättest in der ersten Spalte nur noch eine 1 und sonst nur Nullen. Und was steht da sonst noch so? Mmh, vielleicht wird das dann doch zu unübersichtlich...
Und bei der zweiten: kannst du da nicht einfach die Zeilen vertauschen, so dass du wieder eine Dreiecksform erhältst? Also die letzte Zeile schreibst du als erste hin, die erste als letzte, usw.. Dann bekommst du doch eine untere Dreiecksmatrix, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Ashvini |
Hallo..
ich arbeite gerad auch an dieser Aufgabe und hab mal dazu ne Frage:
[mm] \vmat{ * & & & & & a_{n} \\ & & & & . & & \\ & & & . & & &\\ & a_{2} & & & & &\\ a_{1}& & & & & 0 } [/mm] kann ich ja so umformen, dass es in der Form der Dreiecksmatix steht: [mm] \vmat{ a_{n} & & & & & & \\ & . & & & & & \\ & & . & & & &\\ & & & & a_{2} & &\\ 0 & & & & & a_{1} } [/mm]
Aber ich verstehe nicht, wie ich daraus schließen kann, dass die Determinante gleich [mm] (-1)^{n(n-1)/2} a_{1} a_{2}... a_{n} [/mm] ist..
Ich würd ja sagen, dass die Determinante gleich [mm] a_{1} a_{2}.. a_{n} [/mm] ist. Aber wieso mit dem Vorzeichen?
Würd mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte!
Liebe Grüße,
Ashvini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 15.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Normalerweise kommt dieses Vorzeichen durch den Laplaceschen Entwicklungssatz zu stande, wenn ich mit nicht täusche. Die Formel lautet [mm] (-1)^n.....
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 15.01.2006 | | Autor: | Ashvini |
Die Determinantenformel kommt nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz, aber ist das nicht so, dass wenn eine Matrix in die Dreiecksmatrixform überführt worden ist, dass man dann nur noch das Produkt der Hauptdiagonalen bilden muss und das ist dann die Determinante?!
Lg,
Ashvini
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Hallo Ashvini!
> Die Determinantenformel kommt nach dem Laplaceschen
> Entwicklungssatz, aber ist das nicht so, dass wenn eine
> Matrix in die Dreiecksmatrixform überführt worden ist, dass
> man dann nur noch das Produkt der Hauptdiagonalen bilden
> muss und das ist dann die Determinante?!
Ja, das ist richtig. Dieser Vorfaktor wird wohl daher kommen, dass du deine Ausgangsmatrix ja umgeformt hast, wodurch sich die Determinante unter Umständen verändert. Wie ich weiter oben schon mal geschrieben habe, müsste man das mal bei den Regeln für Determinanten nachlesen. Ich glaube, wenn man zwei Zeilen vertauscht, dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante. In deinem Fall hast du glaube ich [mm] \bruch{n}{2} [/mm] Zeilen vertauscht, und dadurch kommt der Faktor dann zu stande. (habe gerade die Formel und die Matrix nicht mehr so ganz im Kopf - aber kommt das hin?)
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen alle zusammen!
Also ich hab grad euren Diskussionsstrang gelesen und wollte euch sagen, dass die Formel mit dem alternierenden Vorzeichen mit Hilfe der Leibnizschen Determinantenformle zu Stande kommt.
liebe Grüße
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