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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Fr 11.04.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Die nxn Matrix A = (a[ij]) mit
a[ij]= 1 falls |i-j|=1 , 0 sonst.
Zeigen sie, es gilt det A = 0 falls n ungerade, [mm] (-1)^{n/2} [/mm] falls n gerade |
Hallo erstmal allerseits und entschuldigung, dass ich die formeln oben so dahingekritzelt hab, aber ich hab heut keinen nerv mehr mir anzueignen wie mensch das richtig schreibt.
so nun zum thema: also die bedingung heißt ja das ich ne matrix mit lauter nullen hab außer auf der diagonalen über und unter der hauptdiagonalen, da sind einser.
ich hab nun schon vorhandene posts genutzt um mich reinzulesen und versucht das ganze mit der leibnitzformel zu beweisen. ich bin soweit gekommen rauszufinden das das auf jeden fall stimmt (habs bis n=8 duchprobiert) und rausgefunden das es für gerades n immer eine permutation gibt die ungleich null ist, nämlich:
für n=2 (12)->(21)
für n=4 (1234)->(2143)
für n=8 (12345678)->(21436587) usw.
mein problem ist jetzt das ich leibnitz zwar anwenden kann aber absolut keine idee hab wie ich das fürn unbestimmtes n beweisen soll (in ner vernünftigen form)
ich hoffe ihr habt ne idee
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Fr 11.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die nxn Matrix A = (a[ij]) mit
>
> a[ij]= 1 falls |i-j|=1 , 0 sonst.
>
> Zeigen sie, es gilt det A = 0 falls n ungerade, [mm](-1)^{n/2}[/mm]
> falls n gerade
> Hallo erstmal allerseits und entschuldigung, dass ich die
> formeln oben so dahingekritzelt hab, aber ich hab heut
> keinen nerv mehr mir anzueignen wie mensch das richtig
> schreibt.
Mach doch elementare Zeilenumformungen, um die Determinanten zu vereinfachen: ziehe eine Zeile, in der nur eine 1 steht, von einer anderen Zeile ab, um dort dafuer zu sorgen, dass da auch nur noch eine 1 oder sogar garkeine steht.
Sorge dafuer, dass du eine Block-Hauptdiagonale hast und entweder darunter oder darueber nur noch 0en hast. Wenn du eine Nullzeile hast, ist die Determinante 0, ansonsten ist die Determinante gleich dem Produkt der Bloecke auf der Hauptdiagonalen.
Probier das mal bei einer Groesse von $n = 5$ oder 6 oder 7, dann bekommst du vielleicht eine Idee wie du das allgemein machen kannst.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
gucken wir uns mal den Zusammenhang zwischen den Matrizen für $n=5$ und $n=3$ an:
[mm] $\det\left(\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0}\right)$
[/mm]
Wenn ich das nach der ersten Zeile entwickle:
[mm] $\det\left(\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0}\right)=-\det\left(\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\0 & 0 & 1 & 0}\right)$
[/mm]
Entwickle ich nun nach der ersten Spalte:
[mm] $\det\left(\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0}\right)=-\det\left(\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 \\0 & 0 & 1 & 0}\right)=-\det\left(\pmat{0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}\right)$
[/mm]
Das sieht mir doch so aus, als wenn man die Behauptungen jeweils induktiv zeigen könnte (Induktionsschritt: $n [mm] \mapsto [/mm] n+2$).
(Vll. kann man auch, wenn man die $n$-te Matrix [mm] $A_n$ [/mm] nennt, dann induktiv einen Zusammenhang zwischen [mm] $\det(A_{n+2})$ [/mm] und [mm] $\det(A_n)$ [/mm] herleiten, der die Behauptung als Konsequenz hat:
Z.B. [mm] $\det(A_{n+2})+\det(A_n)=0$, [/mm] und jetzt sollte man sich dann Gedanken machen, was [mm] $\det(A_1)$ [/mm] und [mm] $\det(A_2)$ [/mm] ist.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Fr 11.04.2008 | | Autor: | maxi85 |
hmm der ansatz hört sich nicht schlecht an, sieht auch ganz logisch aus. nur fehlt mir da mal wieder was, ich hab leider keinen plan wie das mit dem entwickeln funktioniert.
weißt du zufällig wo mensch sowas gut nachlesen kann? ach und, denkst du mit leibnitz wirds nix oder ist dir nur der weg augefallen?
PS: danke schonmal für die idee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 So 13.04.2008 | | Autor: | maxi85 |
Wow, ok darauf hätt ich dann auch selber kommen können. warum sieht das im skript aber auch alles so kompliziert aus XD-
naja danke auf jeden fall, denke mal mit der erklärung und deiner idee dürfte ich das dann hinkriegen.
mfg maxi
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http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29