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| Aufgabe | Berechne folgende Determinanten:
a)
[mm] det(\vmat{ 1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1})
[/mm]
b)
[mm] det(\vmat{ 1 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 3& 1})
[/mm]
c)
[mm] det(\vmat{ 1 & a & 0 & ... & 0 \\ a & 1 & a & & | \\ 0 & & & & \\ & & & & a \\ 0 & ... & 0 & a & 1})
[/mm]
b )
[mm] det(\vmat{ a & b & b & ... & b \\ b & a & b & & \\ b & & & & \\ & & & & b \\ b & ... & b & b & a}) [/mm] |
Hallo Matheforum,
die a) kann man leicht mit dem Laplacschen Entwicklungssatz berechnen.
a) 28
die b) kann man ja auch so berechnen und bekommt -80 raus.
nur bei der c) und d) weiß ich nicht so recht, wie ich da rechnen soll.
Kann mir einer von euch helfen? Hab schon mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz probiert, aber es funktioniert irgendwie nicht...
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> Berechne folgende Determinanten:
> c)
> [mm]det(\vmat{ 1 & a & 0 & ... & 0 \\ a & 1 & a & & | \\ 0 & & & & \\ & & & & a \\ 0 & ... & 0 & a & 1})[/mm]
>
> nur bei der c) und d) weiß ich nicht so recht, wie ich da
> rechnen soll.
> Kann mir einer von euch helfen? Hab schon mit dem
> Laplaceschen Entwicklungssatz probiert, aber es
> funktioniert irgendwie nicht...
Hallo,
den Laplaceschen Entwicklungssatz würde ich hier auf jeden Fall auch verwenden.
Es ist so schade, daß Du nicht zeigst, was Du getan, versucht und vermutet hast, dann könnte man nämlich viel besser helfen.
Ich nenne mal die nxn-Matrix da oben [mm] A_n.
[/mm]
Ich fange sowas immer an, indem ich erstmal ein bißchen rumprobiere.
Hast Du mal [mm] detA_1 [/mm] bis sagen wir etwa [mm] detA_7 [/mm] ausgerechnet?
Gibt es Regelmäßigkeiten, Vermutungen? Eventuell könnte man schon eine Induktionsbehauptung aufstellen?
Dann habe ich, als ich [mm] A_n [/mm] mit Laplace bearbeitet habe, gesehen, daß [mm] detA_n=A_{n-1}-a^2A_{n-2} [/mm] - falls ich mich nicht vertan habe.
Kannst Du es bestätigen? Bekommst Du das auch?
Wenn ja, dann ist es für einen etwaigen Beweis sicher nützlich.
Gruß v. Angela
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Ich klinke mich hier mal mit ein, denn ich habe das selbe Problem.
Also die beiden Determinanten von A und B habe ich auch, allerdings mit der Regel von sarrus berechnet (ist ja auch möglich, denke ich)
MUSS man die Determinante mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnen oder geht das auch mit einem anderen verfahren?
Tue mich mit dem Entwicklungssatz etwas schwer...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich klinke mich hier mal mit ein, denn ich habe das selbe
> Problem.
> Also die beiden Determinanten von A und B habe ich auch,
> allerdings mit der Regel von sarrus berechnet (ist ja auch
> möglich, denke ich)
Bei B auch mit Sarrus ? Sarrus gilt aber nur für 3x3-Matrizen !!
>
> MUSS man die Determinante mit dem Laplaceschen
> Entwicklungssatz berechnen oder geht das auch mit einem
> anderen verfahren?
> Tue mich mit dem Entwicklungssatz etwas schwer...
Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_(Mathematik) vielleicht hilft es
FRED
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Naja bei B hab ich sowas "zurechtgewurschtelt". ich weiß nicht, ob das so eine "gültige" Lösungsform ist..
Bei B habe ich:
1.) 1.Spalte+1.zeile weggelassen und mit Sarrus Determinante berechnet
2.)1.Spalte +2.Zeile weggelassen und mit Sarrus Determinante berechnet
3.)1.Spalte+3.Zeile weggelassen und mit Sarrus Determinante berechnet
4.)1.Spalte+4. zeile weggelassen und mit Sarrus Determinante berechnet
Determinanten mit den jeweils in der ersten Spalte weggelasssenen Zahlen multiplizieren und die einzelnen determinantenergebnisse abwechselnd adieren und subtrahieren.
ich bin zumindest so auf das richtige Ergebnis gekommen!
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> Naja bei B hab ich sowas "zurechtgewurschtelt". ich weiß
> nicht, ob das so eine "gültige" Lösungsform ist..
>
> Bei B habe ich:
> 1.) 1.Spalte+1.zeile weggelassen und mit Sarrus
> Determinante berechnet
>
> 2.)1.Spalte +2.Zeile weggelassen und mit Sarrus
> Determinante berechnet
>
> 3.)1.Spalte+3.Zeile weggelassen und mit Sarrus Determinante
> berechnet
>
> 4.)1.Spalte+4. zeile weggelassen und mit Sarrus
> Determinante berechnet
>
> Determinanten mit den jeweils in der ersten Spalte
> weggelasssenen Zahlen multiplizieren und die einzelnen
> determinantenergebnisse abwechselnd adieren und
> subtrahieren.
>
> ich bin zumindest so auf das richtige Ergebnis gekommen!
>
>
Hallo,
wenn Du das getan hast, was ich mir unter Deiner Beschreibung vorstelle, dann ist es richtig, und Dein Ergebnis spricht ja auch dafür.
Gruß v. Angela
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Ich weiß grad bloß nicht, wie man dieses Verfahren nennt.
Ich komme trotzdem nicht so richtig voran mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz und den Matrizen C und D.....
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> Ich weiß grad bloß nicht, wie man dieses Verfahren
> nennt.
Hallo,
Laplace-Entwicklung.
> Ich komme trotzdem nicht so richtig voran mit dem
> Laplaceschen Entwicklungssatz und den Matrizen C und D.....
Zu c. hatte ich ja Hinweise gegeben.
Gruß v. Angela
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ich komme trotz der Erklärungen nicht zurecht :-(
Wie die Laplace entwicklung funktioniert weiß ich jetzt.Eigentlich so, wie ich die B schon berechnet hab.
Aber weiles eine nxn Matrix ist kriege ich es irgendwie nicht hin...wäre es eine7x7 oder 10x10 Matrix, da wäre es sicher leichter...
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> ich komme trotz der Erklärungen nicht zurecht :-(
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> Wie die Laplace entwicklung funktioniert weiß ich
> jetzt.
Hallo,
das ist doch schonmal gut.
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> Aber weiles eine nxn Matrix ist kriege ich es irgendwie
> nicht hin...wäre es eine7x7 oder 10x10 Matrix, da wäre es
> sicher leichter...
Und wenn Du jetzt meine Tips richtig studiert hättest, dann hättest Du gesehen, daß ich dazu rate, doch einfach mal diese Matrizen für n=1,,3,4,5,6,7 auszurechnen.
Irgendwie muß man doch beginnen. (?) Auf welche Wunder wartest Du?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:05 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Ich bekommes es doch nicht hin mit der Laplace Entwicklung...ich kann es bei z.B. einer 4x4 Matrix, indem ich die erste Spalte und z.B. erste Zeile weglasse und berechne...das geht hier aber nicht!
Kannst du mir vielleicht zu einem Anfang verhelfen? Ich komme gerade echt nicht weiter.
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> Ich bekommes es doch nicht hin mit der Laplace
> Entwicklung...ich kann es bei z.B. einer 4x4 Matrix, indem
> ich die erste Spalte und z.B. erste Zeile weglasse und
> berechne...das geht hier aber nicht!
>
> Kannst du mir vielleicht zu einem Anfang verhelfen? Ich
> komme gerade echt nicht weiter.
Hallo,
ich frage mich, was Du von uns erwartest. Vielleicht kannst Du das mal erklären.
Es wird Dir hier an allen Ecken und Enden zu helfen versucht, und von Dir sieht man wirklich nicht einen einzigen Fatz an Aktivität.
Wenn Du es für die 4x4-Matrix kannst, dann fang halt mit der 2x2, 3x3, 4x4-Matrix an.
Ich will jetzt mal irgendwas sehen von Dir.
Wenn Du uns die vorgerechnet hast, kannst Du schonmal die Matrizen für n=5,6,7 eintippen, damit es dann zügig weitergehen kann.
Gruß v. Angela
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Mein problem sind hierbei die leeren Stellen....also wenn eine Matrix so z.B. aussieht, dann kriege ich es ja hin! detA und detB habe ich ja auch richtig berechnet...
Hätte ich beispielsweise die Matrix [mm] \pmat{ 1 & a & 0 \\ a & 1 & a \\ 0 & a & 1 } [/mm]
= [mm] 1*\vmat{ 1 & a \\ a & 1 }-a*\vmat{ a & a \\ 0 & 1 }+0*\vmat{ a & 1 \\ 0 & a }
[/mm]
aber diese "Lehrzeile" wo nichts steht, DAS ist hier mein problem!
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> Mein problem sind hierbei die leeren Stellen....also wenn
> eine Matrix so z.B. aussieht, dann kriege ich es ja hin!
> detA und detB habe ich ja auch richtig berechnet...
>
> Hätte ich beispielsweise die Matrix [mm]\pmat{ 1 & a & 0 \\ a & 1 & a \\ 0 & a & 1 }[/mm]
>
> = [mm]1*\vmat{ 1 & a \\ a & 1 }-a*\vmat{ a & a \\ 0 & 1 }+0*\vmat{ a & 1 \\ 0 & a }[/mm] = ...
Na also, jetzt kannst Du es ja zu Ende rechnen.
>
> aber diese "Lehrzeile" wo nichts steht, DAS ist hier mein
> problem!
Welche Leerzeile denn?
Es gibt keine leeren Zeilen bei der Matrix!
Da sind a auf der Hauptdiagonalen, Einsen auf der oberen und unteren Nebendiagonalen und sonst Nullen.
Gruß v. Angela
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okay, ich probiere das jetzt mal mit 6x6 aus, aber das hilft mir ja noch lange nicht weiter für diese nxn matrix, dann stehe ich wieder da wo ich jetzt bin!
Ich weiß zwar das die determinante vermutlich 0 ist nach dem bisherigen rechnen, aber auch nur für z.B. 5x5 oder 6x6
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> okay, ich probiere das jetzt mal mit 6x6 aus, aber das
> hilft mir ja noch lange nicht weiter für diese nxn matrix,
> dann stehe ich wieder da wo ich jetzt bin!
Hallo,
nein, Du stehst dann nicht dort, wo Du jetzt stehst:
zum einen wirst Du die Systematik erkannt haben, wie man die Determinante einer der Matrizen auf die ihrer Vorgänger zurückführen kann,
zum anderen wirst Du möglicherweise eine Induktionsbehauptung entwickeln können.
Wenn Du nicht rechnen magst, dann frage ich mich irgendwie, woher Du das Ergebnis bekommen willst.
> Ich weiß zwar das die determinante vermutlich 0 ist nach
> dem bisherigen rechnen, aber auch nur für z.B. 5x5 oder
> 6x6
Schade, daß Du nicht vorrechnest. "Null" kommt mir im Angesichte der Matrizen eher unwahrscheinlich vor. Wir sind doch bei c)?
Gruß v. Angela
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Also ich bin am verzweifeln an der c)
bekomm noch nicht mal diesen entwicklungssatz hin weil das ja unendlich lang ist
ich weiß nur, dass beim entwicklungssatz die die 1. determinante, wenn ich also nach der 1. zeile 1. spalte entwickle, die matrix C ist, nur um eine spalte und eine zeile verkürzt
die anderen alle bekomme ich nicht hin.
so eine blöde aufgabe ey, wo zusätzlich noch bei mir die frage kommt, wozu man das überhaupt braucht im berufsleben.....
kann mir vll jemand die ersten schritte erklären?
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> Also ich bin am verzweifeln an der c)
> bekomm noch nicht mal diesen entwicklungssatz hin weil das
> ja unendlich lang ist
Hallo,
deshalb hab' ich ja schon mindestens zweimal gesagt, daß man am besten damit anfängt das mal für n=1,...,7 oder so zu machen.
Das ist auf jeden Fall ein sinnvoller Anfang.
Ich kapiere diesen Eiertanz hier nicht: warum zeigt nicht endlich mal einer ein paar gerechnete Matrizen vor bzw. die Versuche?
Damit könnte man etwas anfangen, wohingegen die Mitteilung wie das Fach LA mundet, nicht sehr zielführend ist.
Ich gehe, wie ich bereits schrieb, streng davon aus, daß das hier mit Induktion laufen wird, und um eine Induktion zu machen, muß man ja erstmal wissen, welche Behauptung man gerne zeigen möchte. Deshalb: s.o.
> ich weiß nur, dass beim entwicklungssatz die die 1.
> determinante, wenn ich also nach der 1. zeile 1. spalte
> entwickle,
Vielleicht hast Du den Entwicklungssatz nicht verstanden. Man entwickelt nicht nach "1. Zeile, 1. Spalte", sondern man entwickelt nach einer Zeile oder einer Spalte.
- die matrix C ist, nur um eine spalte und eine
> zeile verkürzt
Ja, das ist der erste der beiden Summanden, die man bei der Entwicklung erhält.
Gruß v. Angela
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