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| Aufgabe | Eine Dezimalzahl ist eine Reihe [mm] \pm \summe_{k=-k_{0}}^{\infty} a_{k}10^{-k}
[/mm]
Dabei ist [mm] k_{0} \in \IN [/mm] und die [mm] a_{k} [/mm] sind Ziffern, d.h. [mm] 0\le a_{k} [/mm] <10. Man schreibt statt Reihe bekanntlich kurz [mm] \pm a_{-k_{0}}a_{-k_{0}+1}....a_{-1}a_{0}, a_{1}a_{2}a_{3}....
[/mm]
Wir nennen die Dezimalzahl periodisch, wenn es ein [mm] k_{1} \in \IN [/mm] und ein l [mm] \in \IN_{>0} [/mm] gibt, s.d. [mm] a_{k_{1}+i}=a_{k_{1}+i+nl} [/mm] für i=0, ..., l-1 und alle n [mm] \in\IN. [/mm] Zeigen Sie:
1. Jede Dezimalzahl konvergiert gegen eine reele Zahl.
2. Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine Dezimalzahl, die gegen a konvergiert (genannt Dezimalentwicklung von a). Die [mm] a_{k}'s [/mm] sind evtl nicht eindeutig bestimmt.
3. Ist die Dezimalzahl periodisch, so konvergiert Sie gegen eine rationale Zahl.
4. Können sie zeigen, dass umgekehrt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalzahlentwicklung besitzt? |
Ich hab mal wieder keine Ahnung was ich machen muss! :D Ich finde auch in meinen Büchern nichts über Dezimalentwicklung!!!
Vielleicht wisst ihr weiter!
Mfg Schneckal
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Elephant |
Hallo,
Tipp zur 1: Wegen des Vollständigkeitsaxioms reicht es, wenn du zeigst, dass die Folge deiner Partialsummen [mm] \zeta_n, [/mm] d.h. [mm] \zeta_n= \summe_{i=-k_0}^{n} a_i*10^{-i}, [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Ansonsten empfehle ich dir ein gutes Analysis 1 - Buch, da müssten zumindest Teile der Aufgaben drinstehen.
Viele Grüße!
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