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Hallo zusammen,
habe mal ne dringende Frage:
Haben in der VL folgendes definiert: die Matrix [mm] a\in M_n(\IK) [/mm] heißt diagonalisierbar, falls es Matrix P [mm] \in Gl_n(\IK) [/mm] gibt mit [mm] p*A*P^{-1} [/mm] = diagonalmatrix.
Meine frage dazu: muss dass nicht heißen [mm] P^{-1}*A*P [/mm] . habe das nämlich mal ausprobiert mit einer 3x3Matrix, und wollte prüfen ob sie diagonalisierbar ist. Sie war diagonalisierbar, jedoch mit [mm] P*A*P^{-1} [/mm] kam schlussendlich keine Diagonalmatrix raus, sondern nur mit [mm] P^{-1}*A*P.
[/mm]
mache ich irgendwas falsch...oder stimmt das so??wenn ja woran liegt das???
Hoffe jemand kann mir schnell helfen!!!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 So 21.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es ist doch egal, ob du jetzt die Matrix oder ihre Inverse P nennst.
nimm doch einfach [mm] $P'=P^{-1}$ [/mm] als neue Matrix P...
wichtig ist nur die Aussage, nicht die Formel !
(eine matrix ist diagonalisierbar, wenn bzgl einer Basis diagonalgestalt hat, dann sind P bzw die Inverse nur die Transformationsmatrizen und welche du jetzt von den beiden P nennst ist egal)
viele Grüße
DaMenge
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hi DaMenge,
danke für deine schnelle Antwort, aber habe das leider immernoch nicht ganz verstanden.
es ist doch schon ein unterschied, ob ich mit der inversen von rechts oder von links multipliziere....
verstehe ich noch nicht ganz...
versuchst du's nochmal??
Viele libe Grüße, der mathedepp_No.1
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Hallo,
laut Definition Deiner Vorlesung ist A diagonalisierbar, wenn es eine Matrix P gibt, so daß [mm] PAP^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Erlaube, daß ich die Matrix, die Du gefunden hast, Q nenne:
Du hast also eine Matrix Q, für die [mm] Q^{-1}AQ [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Das bekommst Du nicht in Deckung gebracht mit der Definition aus der Vorlesung, zumal [mm] QAQ^{-1} [/mm] eben keine Diagonalmatrix ist.
So, nun bringen wir es in Deckung, indem wir eine weitere Taufe vornehmen:
Nennen wir die Matrix [mm] Q^{-1}:=R.
[/mm]
Dann ist [mm] Q=(Q^{-1}){-1}=R^{-1}
[/mm]
und Du kannst die Diagonalmatrix [mm] Q^{-1}AQ [/mm] schreiben als [mm] RAR^{-1}, [/mm] hast genau die Situation der Definition.
Es ist lediglich eine Frage der Benennung.
Gruß v. Angela
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