Diagonalähnlich < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen sie, ob die folgenden 2X2 matrizen diagonalähnlich sind. bestimmen sie ( falls möglich ) eine reguläre matrix P, die die vorgegebene matrix in eine diagonalmatrix überführt.
a) A = [mm] \pmat{ 1 & i \\ i & -1 } [/mm] b) B = [mm] \pmat{ i & 1 \\ 2 & -i } [/mm] |
Ich bräucht hierzu mal hilfe; im skript gibt es hierzu kein beispiel wie man 2 matrizen überhaupt auf diagonalähnlichkeit überprüft.
Ich habe lediglich folgenden Ansatz:
2 Matrizen matrizen heißen ähnlich, wenn es eine reguläre matrix P gibt mit
B = [mm] P^{-1}AP
[/mm]
Könnte mir jemand erklären wie man daran geht.
Danke im voraus
|
|
| |
|
> Untersuchen sie, ob die folgenden 2X2 matrizen
> diagonalähnlich sind. bestimmen sie ( falls möglich )
> eine reguläre matrix P, die die vorgegebene matrix in eine
> diagonalmatrix überführt.
>
> a) A = [mm]\pmat{ 1 & i \\ i & -1 }[/mm] b) B = [mm]\pmat{ i & 1 \\ 2 & -i }[/mm]
>
> Ich bräucht hierzu mal hilfe; im skript gibt es hierzu
> kein beispiel wie man 2 matrizen überhaupt auf
> diagonalähnlichkeit überprüft.
>
> Ich habe lediglich folgenden Ansatz:
>
> 2 Matrizen matrizen heißen ähnlich, wenn es eine
> reguläre matrix P gibt mit
>
> B = [mm]P^{-1}AP[/mm]
>
> Könnte mir jemand erklären wie man daran geht.
> Danke im voraus
Meint Diagonalähnlich Diagonalisierbar? Ich kenne nur den Begriff Diagonalisierbarkeit, der eine Matrix A in ihre ähnliche Matrix B überführt, wobei B eine Diagonalmatrix ist, also $diag(...)$. Ich verstehe die Aufgabe so, dass du zu den Gegebenen Matrizen die Matrix P finden sollst, die die beiden in ihre ähnliche Diagonalmatrix überführt, und nicht etwa A in B, wie ich zuerst verstanden hatte. Aber es steht ja da, geben sie die Matrix P an die A in die ähnliche Diag(...) überführt, daher sollst du sie einfach diagonalisieren.
Dazu brauchst du die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. Die Matrix P enthält dann als Spalten die Eigenvektoren, ihre Inverse ist dann klar zu berechnen und für die Diagonalmatrix gilt dann [mm] $D=P^{-1}AP$
[/mm]
Tipp: Man sieht dann anhand der Eigenwerte bzw. spätestens Eigenvektoren schnell, dass eine diagonalisierbar ist und die andere nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Di 29.05.2012 | | Autor: | VanDamme90 |
Okay danke, ich probiers mal so.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Di 29.05.2012 | | Autor: | Adamantin |
Wenn du Hilfe oder einen weiteren Ansatz brauchst, sag Bescheid. Ich weiß ja nicht, ob ihr Eigenwerte und -vektoren schon hattet. Eventuell geht es auch anders, das waren jedenfalls die Mittel, die wir in Mathe II dafür gelernt haben ;)
|
|
|
|
