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| Aufgabe | Seien a,b,c,d [mm] \in [/mm] IR.
1. Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen an a,b,c,d an, so dass die Matrix [mm] \pmat{ a & b & c \\ 0 & a & d \\ 0 & 0 & a } \in M_{3}(IR)
[/mm]
diagonalisierbar ist.
2. Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen an a,b,c,d an, so dass die Matrix [mm] \pmat{ 1 & b & c \\ 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 1 } \in M_{3}(IR)
[/mm]
diagonalisierbar ist
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Hallo Allerseits!
Brauch mal wieder dringend Hilfe! Aaaalllsooo:
Was versteht man hierbei unter notwendiger und hinreichender Bedingung?
Ich kenne das nur bei einer Funktionsuntersuchungen unter dem Punkt Extremstellen und/oder Wendepunkte. Aber bei Matrizen kann ich gar nichts damit anfangen, leider...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Fr 27.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Vielleicht wird Dir an einem einfachen Beispiel der Sinn und der Gebrauch klar:
Wann ist eine natürliche Zahl durch 9 teilbar?
Geben Sie eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung an!
notwendige aber nicht hinreichende Bedingung:
Die Quersumme der Zahl ist durch 3 teilbar (Also: Die Zahl ist durch 3 teilbar.)
Erklärung:
Damit die Zahl durch 9=3 x 3 teilbar ist, muss sie insbesondere durch 3 teilbar (ein Primteiler der Zahl 9) sein. Dies ist eine notwendige aber nicht hinreichende Bwedingung für die Teilbarkeit durch 9, denn:
Es ist zwar jede durch 9 teilbare Zahl auch durch 3 teilbar, aber umgekehrt ist nicht jede durch 3 teilbare Zahl auch gleichzeitig durch 9 teilbar.
Nun zur Diagonalisierbarkeit:
Eine hinreichende Bedingung für die Diagonalisierbarkeit ist, dass Du eine Basis des ganzen Raumes aus Eigenvektoren (der gegebenen Matrix) findest.
Eine (mögliche) notwendige Bedingung ist, dass das charakteristische Polynom (der Matrix) über Deinem Körper in Linearfaktoren zerfällt.
Aus der letztere Bedingung folgt nicht, dass Du eine Basis von Eigenvektoren findest. Zwar findet man zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor (bei einem unendlichen Körper findet man sogar unendlich viele zu jeden Eigenwert), aber der von allen Eigenvektoren aufgespannte Raum ist i. A. nicht der ganze Raum ...
Zu Deiner Aufgabe:
Du musst nun Bedingungen für die Einträge (a-e) finden, die notwendig bzw. hinreichend für die Diagonalisierbarkeit sind.
Die notwendige Bedingung von oben (mit dem charakteristischen Polynom) hilft Dir dabei nicht, da diese schon für die gegebenen Matrizen erfüllt ist.
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Danke für deine Bemühungen!
Ich bin ein bisschen verwirrt grade...Was genau ist jetzt Sinn der Sache? Ich muss jetzt keine notwendige Bedingung finden, weil die gegeben ist, abe riene hinreichende??
Wie soll ich die denn finden? Eigenwerte berechnen und dann Eigenvektoren ausrechnen`??
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> Ich muss jetzt keine notwendige Bedingung
> finden, weil die gegeben ist,
Hallo,
doch, Du sollst schon eine notwendige Bedingung finden, das Zerfallen des charakteristischen Polynoms liefert Dir jedoch keine Informationen über die Einträge der Matrix, so daß Du Dir etwas anderes ausdenken mußt.
> abe riene hinreichende??
Die auch.
> Wie soll ich die denn finden? Eigenwerte berechnen
eher: ablesen
>und
> dann Eigenvektoren ausrechnen'??
Hmm - ich hätte das anders gemacht, aber bei näherem Hinsehen ist Deine Idee nicht so übel - wenn Du Dir darüber im Klaren bist, was Du damit bezweckst.
Ansonsten gab's die Aufgabe heute schonmal
Gruß v. Angela
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Nein, mir ist nicht wirklich klar, was ich damit bezwecke....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Sa 28.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Für die Diagonalisierbarkeit der angegeben Matrizen, reicht es zu zeigen, dass [mm] $Ker\pmat{ 0 & b & c \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 }$ [/mm] vollen Rang (hier = 3) besitzt. Diese Bedingung erfüllt aber nur die "Nullmatrix" (Nullabbildung)!?!
Deshalb fallen mir auch keine "sinnvollen" notwendigen Bedingungen ein, ausser "gekünzelte":
notwendig:
b=0
hinreichend:
b=0, c=0, d=0
(Oder Varianten von oben!)
Es würde mich jetzt schon interessieren, was der "Sinn" dieser Aufgabe war. (Ich hoffe, es handelt sich um eine Übungsaufgabe, die Ihr auch noch besprechen werdet ...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für die Diagonalisierbarkeit der angegeben Matrizen, reicht
> es zu zeigen, dass [mm]Ker\pmat{ 0 & b & c \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> vollen Rang (hier = 3) besitzt. Diese Bedingung erfüllt
> aber nur die "Nullmatrix" (Nullabbildung)!?!
> Deshalb fallen mir auch keine "sinnvollen" notwendigen
> Bedingungen ein, ausser "gekünzelte":
>
> notwendig:
> b=0
> hinreichend:
> b=0, c=0, d=0
Die Bedingung $b = 0, c = 0, d = 0$ ist ebenfalls notwendig.
Somit ist die Diagonalisierbarkeit aequivalent dazu, dass $b = c = d = 0$ ist.
> Es würde mich jetzt schon interessieren, was der "Sinn"
> dieser Aufgabe war. (Ich hoffe, es handelt sich um eine
> Übungsaufgabe, die Ihr auch noch besprechen werdet ...)
Ich halte die Aufgabe fuer sinnvoll: wenn man sich das Ergebnis durch den Kopf gehen laesst, lernt man einiges ueber Diagonalisierbarkeit (im Spezialfall `Matirx hat genau einen Eigenwert').
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Sa 28.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Natülich ist aus aussagenlogischer Sicht jede hinreichende Bedingung auch eine notwendige.
Aber Mathematiker führen (i.A.) keine "sinnlosen" Bezeichnung ein, sprich:
Eine "echte" notwendige Bedingung ist halt nicht hinreichend.
Übringens wird dieser Unterschied (wie in der Ausgangsfrage ersichtlich) schon in der Schulmathematik thematisiert.
Und beim Thema "Diagonalisierbarkeit einer (endlichen) Matrix" gibt es eben auch eine "schöne" notwendige Bedingung. Die wird auch sicherlich in der Vorleseung vorgekommen sein.
Die Aufgabenstellung hat hiermit aber nicht zu tun und stellt sich für mich daher als "unglücklich" dar.
Das Einzige, was noch Sinn machen würde, wäre:
Die Einträge a bis e können auch komplexe Zahlen sein und es ist nach der Diagonalisierbarkeit über R gefragt.
Aber diese Aufgabenstellung wäre für mich sehr "gekünzelt" ...
Die von Dir erwähnte Sinnigkeit, dass eine trigonale Matrix mit identischen Werten auf der Hauptdiagonalen nur dann diagonalisierbar ist, wenn sie schon eine Diagonalmatrix ist, halte ich in Verbindung mit den Begriffen "notwendige" und "hinreichende" Bedingung eher für unsinnig.
Aber ich kann auch nicht ausschliessen, dass ich "total falsch denke" ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Natülich ist aus aussagenlogischer Sicht jede hinreichende
> Bedingung auch eine notwendige.
Nein, definitiv nicht! Wenn $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] zweimal stetig diffbar ist und $f'(x) = 0$ und $f''(x) [mm] \neq [/mm] 0$ fuer ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist, dann hat $f$ dort eine Extremstelle. Das ist eine hinreichende Bedingung. Aber sie ist noch lange nicht notwendig, siehe $f(x) = [mm] x^4$ [/mm] mit $x = 0$.
> Aber Mathematiker führen (i.A.) keine "sinnlosen"
> Bezeichnung ein, sprich:
> Eine "echte" notwendige Bedingung ist halt nicht
> hinreichend.
> Übringens wird dieser Unterschied (wie in der Ausgangsfrage
> ersichtlich) schon in der Schulmathematik thematisiert.
Mir ist der Unterschied schon klar. In diesem Fall ist die Bedingung $b = c = d = 0$ trotzdem sowohl hinreichtend als auch notwendig.
> Und beim Thema "Diagonalisierbarkeit einer (endlichen)
> Matrix" gibt es eben auch eine "schöne" notwendige
> Bedingung. Die wird auch sicherlich in der Vorleseung
> vorgekommen sein.
Es gibt auch eine hinreichende und notwendige Bedingung: naemlich das die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist. Und die kann man hier sehr einfach anwenden, da man die algebraische Vielfachheit kennt (die ist 3) und die geometrische durch $3$ minus den Rang der Matrix [mm] $\pmat{ 0 & b & c \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 }$ [/mm] gegeben hat. Damit ist die Matrix diagonalisierbar genau dann, wenn der Rang der Matrix $0$ ist. Aber das ist genau dann der Fall, wenn die Matrix die Nullmatrix ist, also wenn $b = c = d = 0$ ist.
> Die Aufgabenstellung hat hiermit aber nicht zu tun und
> stellt sich für mich daher als "unglücklich" dar.
DIe Aufgabenstellung kann sehr wohl auch so interpretiert werden: gib eine Bedingung an, die sowohl hinreichend als auch notwendig ist.
Und auch wenn man sie so interpretiert, das man eine notwendige Bedingung und eine (weitere, moeglicherweise andere) hinreichende Bedingung angeben soll, kann man ja trotzdem beides mal die gleiche angeben. Das macht meiner Meinung nach sehr wohl Sinn, da man dann noch beim Anfang des Loesungsprozesses nicht weiss, ob es eine (einfache) Bedingung gibt, die sowohl notwendig als auch hinreichend ist, oder ob man zwei verschiedene Bedingungen sucht.
> Das Einzige, was noch Sinn machen würde, wäre:
> Die Einträge a bis e können auch komplexe Zahlen sein und
> es ist nach der Diagonalisierbarkeit über R gefragt.
Die Diagonalisierbarkeit ueber [mm] $\IR$ [/mm] macht nur Sinn, wenn die Matrix auch reelle Eintraege hat.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Sa 28.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Hallo Felix,
Du hast mich 100% überzeugt.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo MicMuc,
> Du hast mich 100% überzeugt.
ok :)
Schoenen Abend noch!
LG Felix
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Ich glaube bei uns laufen die Vorlesungen generell unglücklich ab. Das MAthe schwer ist habe ich mir gedacht, aber ich habe nicht gedacht, dass mir die Mathevorlesungen jeglichen Spaß an der Mathematik nehmen. War das bei euch auch so schlimm?
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> War das bei euch
> auch so schlimm?
Hallo,
ich kann Dir versichern, daß mein Studienbeginn sehr hart war. Das ging damals der Mehrheit der Mathematikstudenten so, und es scheint sich nicht geändert zu haben.
Es liegt ein bißchen in der Natur der Sache: das Tempo ist irrwitzig, der Stoff im Vergleich zur Schule abstrakt, und es ist viel Eigeninitiative und harte Arbeit vonnöten.
Bei manch einem kommt eine falsche Vorstellung von "Mathematik" dazu.
Vielleicht magst Du ja in einem eigenen Thread eine Umfrage zu diesem Thema starten. Ich könnte mir vorstellen, daß die Resonanz groß wäre - insbesondere allerdings 6 Wochen nach Beginn des Wintersemesters.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
> Nein, mir ist nicht wirklich klar, was ich damit
> bezwecke....
Wie lauten denn die Eigenwerte? (Wenn du es nicht direkt siehst, rechne das charakteristische Polynom aus und lies sie da ab, und schau wie die Eigenwerte aus der Matrix entstehen bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms.)
Und wie lauten dann die Eigenvektoren? Die kannst du hier (in Abhaengigkeit von $b, c, d$) explizit ausrechnen.
Und was ist der Zusammenhang zwischen Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit?
Damit bist du dann eigentlich schon fertig...
LG Felix
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Also ich habe das charakteristische Polynom berechnet und da kommt bei mir raus:
[mm] (x-a)(x-a)^2, [/mm] mein Eigenwert ist a und der dazu gehörige Eigenvektor (a/0/0).
das ist wahrscheinlich falsch, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also ich habe das charakteristische Polynom berechnet und
> da kommt bei mir raus:
> [mm](x-a)(x-a)^2,[/mm] mein Eigenwert ist a und der dazu gehörige
Genau.
> Eigenvektor (a/0/0).
Wenn $a [mm] \neq [/mm] 0$ ist, ja. Und wenn $b = 0$ oder $d = 0$ ist gibt es noch weitere, dazu linear unabhaengige Eigenvektoren.
Wie berechnest du denn den Eigenraum zum Eigenwert $a$ von der Matrix? (Auf dessen Dimension, die ja die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts $a$ ist, kommt es ja an!)
> das ist wahrscheinlich falsch, oder?
Nein, nur noch nicht alles :)
LG Felix
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Wird der Eigenraum zum Eigenwert a nicht vom Eigenvektor zum Eigenwert a aufgespannt? Also: <(a/0/0)> ?
Und wie mache ich das dann für a=0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mo 30.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wird der Eigenraum zum Eigenwert a nicht vom Eigenvektor
> zum Eigenwert a aufgespannt?
Wie schon gesagt, hier gibt es moeglicherweise mehrere (linear unabhaengige) Eigenvektoren. Die spannen den Eigenraum auch mit auf.
Wie berechnest du denn alle Eigenvektoren zu einem Eigenwert?
> Also: <(a/0/0)> ?
Du meinst: $< (1, 0, 0) >$. Fuer $a [mm] \neq [/mm] 0$ ist das zwar das gleiche, aber fuer $a = 0$ nicht.
> Und wie mache ich das dann für a=0?
Wenn $a = 0$ ist, darfst du halt nicht $< (a, 0, 0) >$ schreiben.
LG Felix
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Ich weiß nicht wie ich ALLE Eigenvektoren ausrechne!
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> Ich weiß nicht wie ich ALLE Eigenvektoren ausrechne!
>
Hallo,
betrachtet wird die Matrix A=$ [mm] \pmat{ a & b & c \\ 0 & a & d \\ 0 & 0 & a } \in M_{3}(IR) [/mm] $.
Sie hat, wie bereits berechnet wurde, nur einen Eigenwert, nämlich a.
Gesucht sind nun die Eigenvektoren bzw. der Eigenraum bzw. eine Basis desselben.
Hierzu ist [mm] Kern(A-aE)=Kern(\pmat{ 0 & b & c \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] zu berechnen.
Die Ausgangsfrage war ja die nach der Diagonalisierbarkeit von A.
Wenn ich nicht unterwegs den Faden verloren habe, geht es im Moment um eine notwendige Bedingung für Diagonalisierbarkeit.
Nun, eine Matrix ist ja diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
Das bedeutet für im konkreten Fall: es muß dim Kern(A-aE)=3 sein, und Du mußt nun überlegen, was daraus für b,c,d folgt.
Gruß v. Angela
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