Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey Leute,
ich hab mal ne Frage:
Wir sollen das charakteristische Polynom herausfinden. Das habe ich mit:
[mm] pA=(\lambda-2)(\lambda-2)(-\lambda-1)
[/mm]
Wenn ich das Nullsetzte bekomme ich raus: [mm] \lambda_{1,2}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=-1
[/mm]
Was sagt das mir jetzt? sagt das etwas über die Diagonalisierbarkeit von A aus?
Über weiterbringende Antworten freue ich mich :)
Kano
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo JigoroKano,
> Hey Leute,
>
> ich hab mal ne Frage:
>
> Wir sollen das charakteristische Polynom herausfinden. Das
> habe ich mit:
> [mm]pA=(\lambda-2)(\lambda-2)(-\lambda-1)[/mm]
>
> Wenn ich das Nullsetzte bekomme ich raus: [mm]\lambda_{1,2}=2[/mm]
> und [mm]\lambda_{3}=-1[/mm]
>
> Was sagt das mir jetzt? sagt das etwas über die
> Diagonalisierbarkeit von A aus?
Erst mal nichts.
Entscheidend für die Diagonaliserbarkeit ist, daß
für alle Eigenwerte die algebraische Vielfachheit mit
der geometrischen Vielfachheit übereinstimmen muss.
>
> Über weiterbringende Antworten freue ich mich :)
> Kano
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok gut :D jetzt sagt mir geometrische vielfachheit wenig...
was muss ich denn jetzt versuchen?
die Matrix sieht übrigens so aus: [mm] \pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 }
[/mm]
beste grüße
kano
|
|
|
| |
|
Hallo kano,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ok gut :D jetzt sagt mir geometrische vielfachheit
> wenig...
Das ist die Dimension des Eigenraums zum jeweiligen Eigenwert
>
> was muss ich denn jetzt versuchen?
Deswegen musst du nun zu jedem Eigenwert eine Basis zum zugehörigen Eigenraum bestimmen.
>
> die Matrix sieht übrigens so aus: [mm]\pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 }[/mm]
>
> beste grüße
> kano
Gruß
|
|
|
| |
|
ok bedeutet das, dass ich so zusagen einsetzen muss:
[mm] A-\lambda*E [/mm] das auf zeilenstufenfrm bringen und dann bekomme ich was?
und was sagt mir das, dass ich eine doppelte nullstelle habe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok bedeutet das, dass ich so zusagen einsetzen muss:
>
> [mm]A-\lambda*E[/mm] das auf zeilenstufenfrm bringen und dann
> bekomme ich was?
x ist Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda \gdw [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0 und [mm](A-\lambda*E)*x=0[/mm]
Löse also das LGS
[mm](A-\lambda*E)*x=0[/mm]
>
> und was sagt mir das, dass ich eine doppelte nullstelle
> habe?
Das die algebraische Vielfachheit=2 ist
FRED
|
|
|
| |
|
Ok ich bin immer noch ziemlich ratlos:
die Nullstellen waren: -1 und 2, wobei 2 doppelte Nulstelle ist.
Was ist jetzt die algebraische vielfachheit? Was hat die für eine aussagekraft?
wenn ich das LGS aufstelle bekomme ich [mm] \pmat{ -7 & 0 & 7 \\ 6 & 0 & -6 \\ -4 & 0 & 4 } [/mm] *x = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
darf ma jetzt spaltenumformung machen?
und was ist der eigenvektor und eigenraum und so? das verstehe ich überhaupt nicht, was das ist...
|
|
|
| |
|
Hallo JigoroKano,
> Ok ich bin immer noch ziemlich ratlos:
>
> die Nullstellen waren: -1 und 2, wobei 2 doppelte Nulstelle
> ist.
>
> Was ist jetzt die algebraische vielfachheit? Was hat die
> für eine aussagekraft?
>
> wenn ich das LGS aufstelle bekomme ich [mm]\pmat{ -7 & 0 & 7 \\ 6 & 0 & -6 \\ -4 & 0 & 4 }[/mm]
> *x = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> darf ma jetzt spaltenumformung machen?
Nein, hier sind Zeilenumfomungen zu machen.
>
> und was ist der eigenvektor und eigenraum und so? das
Siehe hier: Eigenvektor
> verstehe ich überhaupt nicht, was das ist...
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
ok das habe ich mir jetzt durchgelesen, ich verstehe aber immer noch nicht, ob meine matrix diagonalisierbar ist...
|
|
|
| |
|
Hallo JigoroKano,
> ok das habe ich mir jetzt durchgelesen, ich verstehe aber
> immer noch nicht, ob meine matrix diagonalisierbar ist...
Um das entscheiden zu können, mußt Du die Eigenräume berechnen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hey,
ok ich habe jetzt die eigenwerte eingesetzt und somit die eigenräume bestimmt. Mir ist leider immer noch nicht klar, was die Eigenwerte und eigenräume bzgl der diagonalisierbarkeit aussagen :p
beste grüße
Kano
|
|
|
| |
|
Hallo JigoroKano,
> Hey,
>
> ok ich habe jetzt die eigenwerte eingesetzt und somit die
> eigenräume bestimmt. Mir ist leider immer noch nicht klar,
> was die Eigenwerte und eigenräume bzgl der
> diagonalisierbarkeit aussagen :p
Die Dimension der Eigenräume ist für die Diagonalisierbarkeit
von entscheidender Bedeutung.
Die Dimension eines Eigenraums ist die
Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Eigenraum.
>
> beste grüße
> Kano
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok, das bringt doch schonmal licht ins dunkel :)
mal an einem konkreten beispiel. Wenn ich aus der aufgabe weiter vorne im verlauf den eigenwert -1 einsetzte, und der kern der daraus entstanden matrix berechne, komme ich auf einen vektor,der linear unabhägig ist
was sagt mir das jetzt konkrekt?
|
|
|
| |
|
Hallo JigoroKano,
> Ok, das bringt doch schonmal licht ins dunkel :)
>
> mal an einem konkreten beispiel. Wenn ich aus der aufgabe
> weiter vorne im verlauf den eigenwert -1 einsetzte, und der
> kern der daraus entstanden matrix berechne, komme ich auf
> einen vektor,der linear unabhägig ist
>
> was sagt mir das jetzt konkrekt?
Nun, die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes -1
ist gleich der geometrischen Vielfachheit desselben Eigenwertes
Das ist nur ein Teil, der erfüllt sein muss, um
die Diagonalisierbarkeit nachzuweisen.
Ist außerdem die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 2
gleich der geometrischen Vielfachheit desselben Eigenwertes,
dann ist die Matrix diagonalisierbar.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Mi 16.03.2011 | | Autor: | JigoroKano |
Ahhhh sehr gut :) ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Und weil beim Eigenwer 2 die dim Kern = 1 ist, ist die Matrix A nicht diagonalisiertbar, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo JigoroKano,
> Ahhhh sehr gut :) ich glaube jetzt habe ich es verstanden.
> Und weil beim Eigenwer 2 die dim Kern = 1 ist, ist die
> Matrix A nicht diagonalisiertbar, oder?
Über die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert 2
mußt Du nochmal nachdenken.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Eine reelle 3x3- Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] gibt, die aus Eigenvektoren von A besteht.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mi 16.03.2011 | | Autor: | JigoroKano |
na das nenne ich doch mal eine konkrekte antwort, worunter man sich was vorstellen kann :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> na das nenne ich doch mal eine konkrekte antwort, worunter
> man sich was vorstellen kann :)
So, jetzt stelle ich mal eine Frage: wie habt Ihr denn "Diagonalisierbarkeit" in der Vorlesung definiert ?
Ich bitte um Antwort !
FRED
|
|
|
| |
|
jaaaa gar nicht so richtig... keine ahung was der prof da vorgetrunt hat.... du musst wissen, dass er son ganz spezieller typ ist, sag ich mal...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> jaaaa gar nicht so richtig... keine ahung was der prof da
> vorgetrunt hat.... du musst wissen, dass er son ganz
> spezieller typ ist, sag ich mal...
.... na toll, jetzt bin ich im Bilde, sag ich mal..
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Frage: Du bist Mathe-Student im Grundstudium . Wieviele Semester hast Du schon hinter Dir ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mi 16.03.2011 | | Autor: | JigoroKano |
hey, ich bin gerade mal im ersten semester...
|
|
|
|
