Diagonalmatrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:51 Sa 24.01.2009 | | Autor: | pioneer |
| Aufgabe | | Zur Matrix A ermittle man die orthogonale Matrix Q sodass [mm] Q^t [/mm] * A * Q eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo!
Ich habe bei dieser Aufgabe bereits die Matrix Q mit Hilfe des Gram-Schmidt Orthonomierungsverfahrens aus der gegebenen Matrix A bestimmt. Diese ist denke ich auch richtig, da wenn ich die Matrix R ausrechen und dann Q*R rechene wieder auf A kommme.
Wenn ich allerdings D = [mm] Q^t*A*Q [/mm] rechen kommt keine reine Diagonalmatrix heraus. Ich erhalte folgendes Ergebnis:
[mm] \pmat{ 2,8 & 0,6 & 0 \\ 0,6 & 1,2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wo liegt hier mein Fehler?
Vielen Dank im Voraus
pioneer
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> Zur Matrix A ermittle man die orthogonale Matrix Q sodass
> [mm]Q^t[/mm] * A * Q eine Diagonalmatrix ist.
> Hallo!
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe bereits die Matrix Q mit Hilfe
> des Gram-Schmidt Orthonomierungsverfahrens aus der
> gegebenen Matrix A bestimmt. Diese ist denke ich auch
> richtig, da wenn ich die Matrix R ausrechen und dann Q*R
> rechene wieder auf A kommme.
> Wenn ich allerdings D = [mm]Q^t*A*R[/mm] rechen kommt keine reine
> Diagonalmatrix heraus. Ich erhalte folgendes Ergebnis:
> [mm]\pmat{ 2,8 & 0,6 & 0 \\ 0,6 & 1,2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> Wo
> liegt hier mein Fehler?
Hallo,
na, Du bist vielleicht ein Spaßvogel!
Allein am Endergebnis sollen wir den Fehler sehen können? So hellsichtig sind wir nicht.
Ich weiß auch nicht, was R ist.
Ich denke, Du verrätst uns mal die Matrix A, und rechnest dann peu a peu vor.
Daß hier Eigenwerte und Vektoren zu bestimmen sind, ist klar?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Sa 24.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Hallo Angela!
Danke für deine schnelle Antwort.
Entschulige bitte, dass sich nicht alle Angaben gemacht habe.
In meinem ersten Posting war leider ein Fehler den ich auch ausgebessert habe.
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Q habe ich durch das Gram-Schmidt Orthonomierungsverfahren aus A bestimmt.
R ist die rechte Matrix, die ich aus R = [mm] Q^t [/mm] *A berechnet habe.
Danach habe ich zur Kontrolle Q*R gerechnet und bin wieder auf A gekommen (was ja eigendlich nicht die Fragestellung war, sondern nur für mich zur Kontrolle ob Q richtig ist).
Und dann sollte ich ja, wenn ich die Fragestellung richtig verstehe, D ausrechnen. D ist die Diagonalmatrix die in ihrer Diagonale die Eigenwerte enthält. Das habe ich mit D = [mm] Q^t*A*Q [/mm] gemacht und bin dann auf dieses Ergebnis gekommen:
[mm] \pmat{ 2,8 & 0,6 & 0 \\ 0,6 & 1,2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
lg
pioneer
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> Hallo Angela!
>
> Danke für deine schnelle Antwort.
> Entschulige bitte, dass sich nicht alle Angaben gemacht
> habe.
> In meinem ersten Posting war leider ein Fehler den ich
> auch ausgebessert habe.
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Q habe ich durch das Gram-Schmidt Orthonomierungsverfahren
> aus A bestimmt.
>
> R ist die rechte Matrix, die ich aus R = [mm]Q^t[/mm] *A berechnet
> habe.
> Danach habe ich zur Kontrolle Q*R gerechnet und bin wieder
> auf A gekommen (was ja eigendlich nicht die Fragestellung
> war, sondern nur für mich zur Kontrolle ob Q richtig ist).
>
> Und dann sollte ich ja, wenn ich die Fragestellung richtig
> verstehe, D ausrechnen. D ist die Diagonalmatrix die in
> ihrer Diagonale die Eigenwerte enthält. Das habe ich mit D
> = [mm]Q^t*A*Q[/mm] gemacht und bin dann auf dieses Ergebnis
> gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 2,8 & 0,6 & 0 \\ 0,6 & 1,2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> lg
> pioneer
Hallo,
wenn mir jetzt nichts Wesentliches entgangen ist, entbehrt Dein Treiben jeglicher Grundlage:
Du machst für A eine QR-Zerlegung und erhoffst Dir, daß [mm] Q^t*A*Q =Q^t*QR*Q [/mm] =R*Q eine Diagonalmatrix ist? Etwas optimistisch, oder?
Was hier zu tun ist:
Erstens mal ist festzustellen, daß A eine symmetrische Matrix ist. Hieraus ergibt sich, daß es eine ONB aus Eigenvektoren gibt, welche zu bestimmen ist, und bzgl welcher die matix A dann Diagonalgestalt hat.
Also: Eigenwerte und -vektoren bestimmen, ggf. orthonormalisieren, Transformationsmatrix Q aufstellen.
Gruß v. Angela
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