Dichte bzgl. borel-lebesq.maß < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 07.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo an alle!
ich stehe hier ein wenig verzweifelt an einer aufgabe hier, da ich nicht weiß, was ich eigentlich genau zu zeigen habe, bzw. wie ich das machen soll.
Es ist nämlich gegeben, dass I,J [mm] \subset \IR [/mm] beschränkte intervalle sind und dass g: I [mm] \to [/mm] J ein diffeomorphismuss ist.
Nun soll ich zeigen:
(a) Das bildmaß des borel-lebesque-maßes [mm] \lambda_{I} [/mm] auf B(I) besitzt die dichte h = [mm] \bruch{1}{|g' \circ g^{-1}|} [/mm] bzgl. des borel-lebesque-maßes [mm] \lambda_{J} [/mm] auf B(J). (hier soll B(I) bzw. B(J) die borelmenge sein.)
(b) für jede lebesque-integrierbare funktion f auf J gilt
[mm] \integral_{I}^{} [/mm] {f(g(x)) |g'(x)| dx} = [mm] \integral_{J}^{} [/mm] {f(y) dy}
zu (a): das bedeutet doch mathematisch:
für alle A [mm] \in [/mm] B(I) gilt: [mm] \lambda_{I} [/mm] (A) = [mm] \integral_{A}^{} [/mm] {h [mm] d\lambda_{j}}
[/mm]
aber was muss ich hier genau zeigen? etwa, dass h aus der menge der positiv messbaren funktionen kommt? weil ich weiß nicht genau, was ich hier machen muss.
darum bitte ich nur um einen tipp und paar anregungen!
bei der (b) hab ich auch keine ahnung, wie man da anfängt.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen und mir zeigen, wie man sowas macht!
Vielen dank!
VHN
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:16 Mo 14.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo stefan!
ich weiß, meine frage ist überfällig, aber mich würde die aufgabe trotzdem interessieren.
ich habe mir den link, den du mir gegeben hast, angeschaut, allerdings kann ich damit leider nichts anfangen, weil wir all das in der vorlesung noch nicht behandelt haben.
aus der vorlesung ist lediglich bekannt:
(1) definition von Bildmaß
sei [mm] (omega,\cal{A},\mu) [/mm] ein maßraum, [mm] (omega',\cal{A}') [/mm] ein messbarer raum und f: omega [mm] \to [/mm] omega' eine [mm] \cal{A}-\cal{A'} [/mm] - messbare abb.
dann ist die abb. [mm] \nu: \cal{A}' \to \IR, \nu(A') [/mm] = [mm] \mu(f^{-1}[A']) [/mm] ein maß auf [mm] (omega',\cal{A}'). [/mm] es heißt das bildmaß von [mm] \mu [/mm] bzgl. f.
(2) definition dichte
ein maß [mm] \nu [/mm] auf [mm] (omega,\cal{A}) [/mm] besitze die dichte f [mm] \in \cal{M}( Omega,\cal{A}) [/mm] bzgl. des maßes [mm] \mu [/mm] auf [mm] (omega,\cal{A}), [/mm] wenn für alle A [mm] \in \cal{A}: \nu(A)=\integral_{A}^{} [/mm] f [mm] d\mu.
[/mm]
nun habe ich versucht, die angabe der aufgabe mathematisch auszudrücken:
sei [mm] \nu [/mm] das bildmaß des borel-lebesguemaßes [mm] \lambda_{I}. [/mm] dann gilt:
A [mm] \in [/mm] B(I)
[mm] \nu(A) [/mm] = [mm] \lambda_{I} (g^{-1}(A)) [/mm] = [mm] \integral_{A}^{} {\bruch{1}{|g' \circ g^{-1}|}d\lambda_{J}}
[/mm]
stimmt die "übersetzung" so?
aber was mache ich jetzt? ehrlich gesagt, weiß ich nicht mal genau, was ich genau zeigen soll.
ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen. danke!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo VHN!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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