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| Aufgabe | Sei λ ∈R>0. Sei X eine stetige Zufallsvariable, s.d. die Dichtefunktion definiert ist durch:
fX(x) =ke^(−λx) für x ≥ 0
und 0 für x < 0 , wobei k ∈R.
(1) Welche k muss man nehmen?
(2) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von fX(x).
(3) Berechnen P(X > [mm] 1)^x [/mm] ∀x ∈R.
(4) Seien a,b ∈ R. Berechnen Sie P(X > a + b | X > b). Was kann man daraus schliessen? |
Hallo,
ich komme leider überhaupt nicht voran.
bei der 1) habe ich überlegt das die Intergral der Dichte von - bis + unendlich ja 1 sein muss damit es überhaupt eine Dichte ist, und ob ich die Werte für k damit bestimmen kann. Aber wie intergriere ich das bei diesen Grenzen?
Bei der 2.)
F(x)= [mm] \integral_{0}^{N} [/mm] ke^(-λx) [mm] \, [/mm] dx
Stimmt das so?
3.)
Ich hatte überlegt,
P(x [mm] \ge [/mm] 1) wäre
F(x)= [mm] \integral_{1}^{N} [/mm] ke^(-λx) [mm] \, [/mm] dx
aber was mache ich wenn die x strikt > 1 ist? Und was gange ich mit dem ^x an?
4.)
Hier hatte ich es so interpretiert:
Wie wahrscheinlich ist es, falls x > b, dass x auch > a+b ist
Ich habe mir das auf der x -Achse aufgezeichnet und dann gäbe es 2 Fälle:
1.) wenn a < b, dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich 1
2.) wenn b < a, dann wäre die Wahrscheinlichkeit
= [mm] \integral_{b}^{N} ke^{−λx}\, [/mm] dx - [mm] \integral_{a}^{b} ke^{−λx}\, [/mm] dx
Stimmt das??
Ich hab das Gefühl, dass ich bei diesen Aufgaben auf dem Holzweg bin. Wäre sehr froh um Hilfe. Danke!
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Hallo mariella,
vorab: Nutze doch bitte den [mm] $\LaTeX$-Editor… [/mm] so ist das nur schwer lesbar.
> ich komme leider überhaupt nicht voran.
> bei der 1) habe ich überlegt das die Intergral der Dichte
> von - bis + unendlich ja 1 sein muss damit es überhaupt
> eine Dichte ist, und ob ich die Werte für k damit
> bestimmen kann.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Rechne das Integral doch mal aus und stelle dann nach $k$ um.
> Aber wie intergriere ich das bei diesen Grenzen?
Wie gewohnt. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen.
Deine Verwirrung kommt sicherlich durch das [mm] "$\infty$", [/mm] rein technisch kannst du das auch einfach einsetzen. Formal müsstest du das natürlich über einen Grenzwert bestimmen. Das Ergebnis ist aber dasselbe.
> Bei der 2.)
> F(x)= [mm]\integral_{0}^{N}[/mm] ke^(-λx) [mm]\,[/mm] dx
> Stimmt das so?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was soll denn das N sein?
Die linke Seite hängt von x ab, die rechte nicht mehr.
Deine Idee ist richtig, deine Notation solltest du aber nochmal überprüfen.
Und das richtige k aus 1 einsetzen.
>
> 3.)
> Ich hatte überlegt,
> P(x [mm]\ge[/mm] 1) wäre
> F(x)= [mm]\integral_{1}^{N}[/mm] ke^(-λx) [mm]\,[/mm] dx
> aber was mache ich wenn die x strikt > 1 ist? Und was
> gange ich mit dem ^x an?
Auch hier: Was ist denn dein N plötzlich? Dein k solltest du natürlich aus 1 kennen.
Tipp: Was ist denn die Gegenwahrscheinlichkeit? Die kennst du aus 2 doch!
> 4.)
> Hier hatte ich es so interpretiert:
> Wie wahrscheinlich ist es, falls x > b, dass x auch > a+b
> ist
> Ich habe mir das auf der x -Achse aufgezeichnet und dann
> gäbe es 2 Fälle:
> 1.) wenn a < b, dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich 1
Warum sollte das so sein?
Das ist offensichtlich auch falsch.
> 2.) wenn b < a, dann wäre die Wahrscheinlichkeit
> = [mm]\integral_{b}^{N} ke^{−λx}\,[/mm] dx - [mm]\integral_{a}^{b} ke^{−λx}\,[/mm]
> dx
> Stimmt das??
Warum sollte das so sein?
Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit!!!!
Gruß,
Gono
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