Die leere Menge und Kompakt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mo 07.11.2011 | | Autor: | cool915 |
Hallo leute,
kann mir einer das erklären, warum die leere Menge kompakt ist? Woran mache ich das aus? Ich weiß zwar, dass diese abgeschlossen und zugleich offen ist, aber wie mache ich das mit der Beschränktheit? Kann mir das einer ausführlich erklären auch so dass ich armer Tropf das verstehe:):)
LG cool915
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> Hallo leute,
> kann mir einer das erklären, warum die leere Menge
> kompakt ist? Woran mache ich das aus? Ich weiß zwar, dass
> diese abgeschlossen und zugleich offen ist, aber wie mache
> ich das mit der Beschränktheit? Kann mir das einer
> ausführlich erklären auch so dass ich armer Tropf das
> verstehe:):)
moin cool,
Du willst also zeigen, dass die leere Menge beschränkt ist?
Wie ist denn Beschränktheit definiert?
Eine Menge M heißt beschränkt, wenn es ein x gibt sodass für alle $m [mm] \in [/mm] M$ gilt:
$-x [mm] \leq [/mm] m [mm] \leq [/mm] x$ oder $|m| [mm] \leq [/mm] x$, jenachdem ob auf deiner Menge ein Betrag definiert ist.
Wenn man das ganz formal in Logikschreibweise bringt heißt das:
$m [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] |m| [mm] \leq [/mm] x$
Und jetzt erzähl du mir mal wieso diese Folgerung für $M = [mm] \emptyset$ [/mm] wahr ist. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mo 07.11.2011 | | Autor: | cool915 |
Also gehen wir davon aus, dass die leere Menge abgeschlossen ist. Soviel ist klar.
Beschränkt ist sie, weil sie durch eine Menge A (z.B) beschränkt wird. Ich würde mir das bildlich so vorstellen, dass die leere Menge von den anderen Mengenbestandteilen einer Menge beschränkt wird. Oder irre ich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also gehen wir davon aus, dass die leere Menge
> abgeschlossen ist. Soviel ist klar.
> Beschränkt ist sie, weil sie durch eine Menge A (z.B)
> beschränkt wird. Ich würde mir das bildlich so
> vorstellen, dass die leere Menge von den anderen
> Mengenbestandteilen einer Menge beschränkt wird. Oder irre
> ich?
Probieren wirs mal auf 2 weitere Arten:
1. Eine Teilmenge A von [mm] \IR [/mm] heißt beschränkt [mm] \gdw [/mm] es gibt ein r>0 mit:
$A [mm] \subseteq [/mm] (-r,r)$
Das trifft sicherlich zu für A= [mm] \emptyset, [/mm] denn [mm] $\emptyset \subseteq [/mm] (-4711,4711)
2. Eine Teilmenge A von [mm] \IR [/mm] ist nicht beschränkt [mm] \gdw [/mm] zu jedem c>0 existiert ein [mm] x_c \in [/mm] A mit
[mm] |x_c|>c.
[/mm]
Trifft das auf A= [mm] \emptyset [/mm] zu ? Nein. Denn zu c=1 gibt es sicherlich kein [mm] x_1 \in \emptyset [/mm] mit [mm] |x_1|>1
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mo 07.11.2011 | | Autor: | cool915 |
Ja, die leere Menge ist in jeder Menge enthalten, aber wie sieht es für [mm] \emptyset [/mm] als einziges Element einer Menge aus aus, also A= {}?
Ist diese Menge auch kompakt? Ja diese Menge ist auch kompakt, weil die leere Menge kompakt ist, aber wie schreibe ich das auf???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, die leere Menge ist in jeder Menge enthalten, aber wie
> sieht es für [mm]\emptyset[/mm] als einziges Element einer Menge
> aus aus, also A= {}?
Meinst Du $A = [mm] \{ \emptyset\}$
[/mm]
FRED
> Ist diese Menge auch kompakt? Ja diese Menge ist auch
> kompakt, weil die leere Menge kompakt ist, aber wie
> schreibe ich das auf???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mo 07.11.2011 | | Autor: | cool915 |
Es ist mir einleuchtend, dass die leere Menge kompakt ist, aber wie schreibe ich das mathematisch auf? Wie zeige ich die Kompaktheit der leeren Menge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es ist mir einleuchtend, dass die leere Menge kompakt ist,
> aber wie schreibe ich das mathematisch auf? Wie zeige ich
> die Kompaktheit der leeren Menge?
Oben schreibst Du, dass Dir die Abgeschlossenheit der leeren Menge klar ist.
Shadowmaster und ich haben Dir mehrer Möglichkeiten geliefert, wie Du die beschränktheit der leeren Menge bewwisen kannst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 07.11.2011 | | Autor: | cool915 |
Vielen Dank:) ich habe es noch einmal alles zusammengesetzt für mich und kann es jatzt nachvollziehen:)mit deinem (@Fred) kann man zeigen, dass die leere Menge beschränkt ist.
LG cool915
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank:) ich habe es noch einmal alles zusammengesetzt
> für mich und kann es jatzt nachvollziehen:)mit deinem
> (@Fred) kann man zeigen, dass die leere Menge beschränkt
> ist.
Mit den Argumenten von Shadowmaster aber auch.
FRED
> LG cool915
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