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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 27.09.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Die Diedergruppe [mm] D_{2n} [/mm] ist eine Gruppe mit 2n Elementen. Sie ist isomorph zu der Gruppe der Spiegelungen und Drehungen der Ebene [mm] IR^{2}, [/mm] die das regelmäßige n-Eck mit Mittelpunkt 0 invariant lassen.
(a) Machen Sie für n=3 und n=4 je eine Zeichung, die ein regelmäßiges n-Eck und die Spiegelachsen enthält.
(b) Es ist [mm] D_{2n}= {d_{0}, d_{1}, ... , d_{n-1}, s_{0}, s_{1}, ... , s_{n-1}}, [/mm] wobei [mm] d_{l} [/mm] die Drehung um den Winkel [mm] l*2\pi [/mm] /n ist, [mm] s_{0} [/mm] irgendeine Spiegelung und [mm] s_{k} [/mm] für k [mm] \in [/mm] {1, ..., n-1} die Spiegelung an der Spiegelachse mit Winkel [mm] k*\pi [/mm] /n zur Spiegelachse von [mm] s_{0}. [/mm] Geben Sie die Verknüpfungstafel der Gruppe [mm] D_{2n} [/mm] an.
(c) Wieviele Konjugationsklassen von Spiegelungen gibt es in [mm] D_{2n}? [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
diese Aufgabe sieht sehr kompliziert und schwer aus. Ich habe schon mal das Internet nach Diedergruppen durchgeforstet und sogar einiges gefunden, aber leider kann ich sie trotzdem noch nicht ganz lösen. Könnt ihr mir weiterhelfen???
Hab bisher folgendes erkannt / ausprobiert:
(a) n=3: ein gleichseitiges Dreieck mit drei Spiegelachsen, die sich im Schwerpunkt schneiden
n=4: ein Quadrat mit vier Spiegelachsen (Diagonalen und Halbierende)
--> Hieran soll man angeblich sehen, dass die Gruppe [mm] D_{2n} [/mm] eine zyklische Untergruppe von n Drehungen enthält und dass das Komplement aus n Spiegelungen besteht!
Irgendwie kann ich das aber leider nicht erkennen?!? :-?
(b) no idea, wie ich hier rangehen soll
Die Verknüpfungstafel besteht doch auch den Verknüpfungen von Drehungen und Spiegelungen.
Heißt das, ich muss jede Verknüpfung z.B. [mm] d_{0} \circ s_{0} [/mm] bestimmen?
Wie soll ich das machen? *please, help*
(c) Auch hier habe ich leider keine Ahnung wie das gehen soll und wie ich die Konjugationsklassen bestimmen kann.
Wäre über jegliche Tips und Tricks sehr dankbar.
Lg Kittycat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 So 28.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Diedergruppe [mm]D_{2n}[/mm] ist eine Gruppe mit 2n Elementen.
> Sie ist isomorph zu der Gruppe der Spiegelungen und
> Drehungen der Ebene [mm]IR^{2},[/mm] die das regelmäßige n-Eck mit
> Mittelpunkt 0 invariant lassen.
>
> (a) Machen Sie für n=3 und n=4 je eine Zeichung, die ein
> regelmäßiges n-Eck und die Spiegelachsen enthält.
>
> (b) Es ist [mm]D_{2n}= {d_{0}, d_{1}, ... , d_{n-1}, s_{0}, s_{1}, ... , s_{n-1}},[/mm]
> wobei [mm]d_{l}[/mm] die Drehung um den Winkel [mm]l*2\pi[/mm] /n ist, [mm]s_{0}[/mm]
> irgendeine Spiegelung und [mm]s_{k}[/mm] für k [mm]\in[/mm] {1, ..., n-1} die
> Spiegelung an der Spiegelachse mit Winkel [mm]k*\pi[/mm] /n zur
> Spiegelachse von [mm]s_{0}.[/mm] Geben Sie die Verknüpfungstafel der
> Gruppe [mm]D_{2n}[/mm] an.
>
> (c) Wieviele Konjugationsklassen von Spiegelungen gibt es
> in [mm]D_{2n}?[/mm]
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> diese Aufgabe sieht sehr kompliziert und schwer aus. Ich
> habe schon mal das Internet nach Diedergruppen
> durchgeforstet und sogar einiges gefunden, aber leider kann
> ich sie trotzdem noch nicht ganz lösen. Könnt ihr mir
> weiterhelfen???
>
> Hab bisher folgendes erkannt / ausprobiert:
>
> (a) n=3: ein gleichseitiges Dreieck mit drei Spiegelachsen,
> die sich im Schwerpunkt schneiden
>
> n=4: ein Quadrat mit vier Spiegelachsen (Diagonalen und
> Halbierende)
>
> --> Hieran soll man angeblich sehen, dass die Gruppe [mm]D_{2n}[/mm]
> eine zyklische Untergruppe von n Drehungen enthält und dass
> das Komplement aus n Spiegelungen besteht!
>
> Irgendwie kann ich das aber leider nicht erkennen?!? :-?
Welche Drehungen überführen das gleichseitige Dreieck bzw das Quadrat in sich selbst? Das sind doch die Drehungen um [mm] $120^\circ$ [/mm] bzw. [mm] $90^\circ$ [/mm] um den Mittelpunkt. Warum ist die Gruppe dieser Drehungen zyklisch? (Tipp: Was passiert bei Hintereinanderausführung zweier Drehungen?)
> (b) no idea, wie ich hier rangehen soll
> Die Verknüpfungstafel besteht doch auch den Verknüpfungen
> von Drehungen und Spiegelungen.
> Heißt das, ich muss jede Verknüpfung z.B. [mm]d_{0} \circ s_{0}[/mm]
> bestimmen?
Im Prinzip ja, aber das ist nicht so kompliziert, wie es dir erscheint. Da die Gruppe der Drehungen zyklisch ist, ist die Verknüpfungstafel für den Teil mit den Drehungen einfach.
Überlege dir (am Beispiel des Dreiecks und des Quadrats), was passiert, wenn du nacheinander eine Drehung und eine Spiegelung ausführst. Was passiert bei Verknüpfung zweier Spiegelungen?
> (c) Auch hier habe ich leider keine Ahnung wie das gehen
> soll und wie ich die Konjugationsklassen bestimmen kann.
Das bekommst du direkt aus der Verknüpfungstafel heraus. Andere Möglichkeit: Parität!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Di 30.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
ich hab mich mal an der Verknüpfungstafel versucht:
[mm] \begin{tabular}{c|cc}
\circ & d_l & s_l \\
\hline
d_k & d_k \circ d_l = d_{k+l} & d_k \circ s_l = s_? \\
s_k & s_k \circ d_l = s_? & s_k \circ s_l = d_? \\
\end{tabular}
[/mm]
Kommt das so hin? Leider weiß ich aber nicht wie ich die richtigen Indizes finden kann, z.B. [mm] d_k \circ d_l [/mm] = [mm] d_{k+l}, [/mm] also addieren sich da die beiden Winkel einfach? Aber wie ist das bei Drehung und Spiegelung?
Wie kann man nun anhand dieser Tafel etwas über Konjugationsklassen sagen?
Sorry, dass ich so frage, aber was meinst du mit "Parität"?
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 30.09.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Riley, hallo Rainer,
(a) hab ich jetzt so weit verstanden *Danke, Rainer!!!*
(b) hab ich eben versucht:
habe in der Verknüpfungstafel folgendes erhalten:
[mm] d_{k} \circ d_{l} [/mm] = [mm] d_{k+l}
[/mm]
[mm] d_{k} \circ s_{l} [/mm] = [mm] s_{l - k}
[/mm]
[mm] s_{k} \circ s_{l} [/mm] = [mm] d_{l - k}
[/mm]
[mm] s_{k} \circ s_{l} [/mm] = [mm] s_{k+l}
[/mm]
Stimmt das soweit? Ich weiß nicht ob meine Vorgehensweise richtig war, aber ich habe es jetzt einfach mal mit einem beliebigen Punkt jeweils mit n=4 ausprobiert und so alle Verknüpfungen ausprobiert und aufgeschrieben.
So und wie kann ich jetzt die (c) lösen? Gibt es da einen Trick? bzw. was meint man mit Parität?
vielen Dank schon im Voraus für die HIlfe.
Liebe Grüße
kittycat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Di 30.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
(Ich habe aus der Mitteilung eine Frage gemacht  )
> Hallo Riley, hallo Rainer,
>
> (a) hab ich jetzt so weit verstanden *Danke, Rainer!!!*
>
> (b) hab ich eben versucht:
> habe in der Verknüpfungstafel folgendes erhalten:
> [mm]d_{k} \circ d_{l}[/mm] = [mm]d_{k+l}[/mm]
> [mm]d_{k} \circ s_{l}[/mm] = [mm]s_{l - k}[/mm]
> [mm]s_{k} \circ s_{l}[/mm] = [mm]d_{l - k}[/mm]
> [mm]s_{k} \circ s_{l}[/mm] = [mm]s_{k+l}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Fast: du musst noch berücksichtigen, dass $k+l$ ja größer als n-1 werden kann, und du dann n abziehen musst; zum Beispiel ist bei n=4:
[mm] d_{2}\circ d_{3} = d_{1} [/mm]
Entsprechend kann $l-k$ kleiner als 0 werden, und du musst 4 draufzählen.
> So und wie kann ich jetzt die (c) lösen? Gibt es da einen
> Trick? bzw. was meint man mit Parität?
Gemeint habe ich hier den Untescheid zwischen gerade und ungerade, aber wenn es euch nichts sagt, hilft es auch nicht weiter.
Zur Konjugation: hier reicht es Konjugation mit [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $s_0$ [/mm] zu betrachten, denn alle anderen lassen sich daraus herleiten. Zum Beispiel ist für ein beliebiges Gruppenelement $g$:
[mm] d_{2}\circ g \circ d_{2}^{-1} = (d_{1} \circ d_{1}) \circ g \circ (d_{1}^{-1} \circ d_{1}^{-1} )
= d_{1} \circ (d_{1}) \circ g \circ d_{1}^{-1}) \circ d_{1}^{-1} = d_{1} \circ g'\circ d_{1}^{-1} [/mm]
mit [mm] $g'=d_{1}\circ [/mm] g [mm] \circ d_{1}^{-1} [/mm] $.
Also ist [mm] $d_{1} \circ g'\circ d_{1}^{-1} [/mm] $ konjugiert zu $g$, wenn $g'$ konjugiert zu $g$ ist.
Also rechne [mm] $d_{1} \circ s_{l}\circ d_{1}^{-1} [/mm] $ für beliebige $l$ anhand deiner Verknüpfungstabelle aus. Dabei kannst du zum Beispiel ausnutzen, dass [mm] $s_{l}^{-1} [/mm] = [mm] s_{l} [/mm] $ und daher
[mm] s_{l}\circ d_{1}^{-1} = s_{l}^{-1}\circ d_{1}^{-1} = (d_{1}\circ s_{l})^{-1} [/mm]
ist.
Dann überlegst du dir, in wieviele verschiedene Äquivalenzklassen per Konjugation deine Spiegelungen zerfallen.
Der Einfachheit halber kannst du es an Dreieck und Quadrat durchprobieren: welche Spiegelungen lassen sich durch Drehungen ineinander überführen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 30.09.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Erklärungen!!
> Fast: du musst noch berücksichtigen, dass [mm]k+l[/mm] ja größer als
> n-1 werden kann, und du dann n abziehen musst; zum Beispiel
> ist bei n=4:
>
> [mm]d_{2}\circ d_{3} = d_{1}[/mm]
>
> Entsprechend kann [mm]l-k[/mm] kleiner als 0 werden, und du musst 4
> draufzählen.
Also bei der (b) hab ich das auch nur so rausgekriegt, weil ich dachte man könnte das so schreiben. Denn (-1) in dieser Gruppe wäre ja dann gleich 3 und (-2) wäre 2, und 4 z.B. wäre dann wieder die 0. Aber wie ich das noch anders hinschreiben kann ... no idea! Kann man das so nicht lassen? Ist es damit nicht klar?
Lg Kittycat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 30.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für deine Erklärungen!!
>
> > Fast: du musst noch berücksichtigen, dass [mm]k+l[/mm] ja größer als
> > n-1 werden kann, und du dann n abziehen musst; zum Beispiel
> > ist bei n=4:
> >
> > [mm]d_{2}\circ d_{3} = d_{1}[/mm]
> >
> > Entsprechend kann [mm]l-k[/mm] kleiner als 0 werden, und du musst 4
> > draufzählen.
>
> Also bei der (b) hab ich das auch nur so rausgekriegt, weil
> ich dachte man könnte das so schreiben. Denn (-1) in dieser
> Gruppe wäre ja dann gleich 3 und (-2) wäre 2, und 4 z.B.
> wäre dann wieder die 0. Aber wie ich das noch anders
> hinschreiben kann ... no idea! Kann man das so nicht
> lassen? Ist es damit nicht klar?
Naja, wenn es dir klar ist, ist es gut
Ich würde schreiben "l-k modulo n".
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen lieben Dank für deine Erklärungen! So ganz versteh ich den letzten Teil aber noch nicht.
Wenn ich z.B. berechne
[mm] d_l \corc s_l \circ d_l^{-1} [/mm] = [mm] d_l \circ (d_l \circ s_l)^{-1}
[/mm]
Was kann ich dann über die Konjugationsklassen sagen...? Und warum muss ich nicht [mm] d_l [/mm] und [mm] s_k [/mm] nehmen sondern nur l's ?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mi 01.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> vielen lieben Dank für deine Erklärungen! So ganz versteh
> ich den letzten Teil aber noch nicht.
> Wenn ich z.B. berechne
> [mm]d_l \corc s_l \circ d_l^{-1}[/mm] = [mm]d_l \circ (d_l \circ s_l)^{-1}[/mm]
>
> Was kann ich dann über die Konjugationsklassen sagen...?
> Und warum muss ich nicht [mm]d_l[/mm] und [mm]s_k[/mm] nehmen sondern nur l's
> ?
Nicht [mm] $d_l$ [/mm] (kleines l), sondern [mm] $d_1$ [/mm] (1), denn alle [mm] $d_k$ [/mm] mit $k>1$ kannst du als Komposition der [mm] $d_1$ [/mm] schreiben:
[mm] d_k = (d_1)^k [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
achsoo, okay, genau Hinsehen ist immer von Vorteil 
Danke,
viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Di 30.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley,
siehe meine Antwort auf kittycats Frage.
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl. Listen Sie alle Untergruppen der Diedergurppe [mm] D_{2p} [/mm] auf. Notieren Sie, welche zueinander konjugiert sind un welche Normalteiler sind. Im Falle eines Normalteilers geben Sie die Isomorphiklasse der Quotientengruppe an. |
Hallo Rainer und alle Freunde der Algebra,
ich hab hier nochmal Schwierigkeiten mit der Diedergruppe.
Also laut Definition wie es in obigem Post steht, müsste ja dann gelten:
[mm] D_{2p} [/mm] = [mm] \{ d_0,d_1,...,d_{p-1},s_0, s_1,...,s_{p-1} \} [/mm] mit [mm] d_l [/mm] Drehung um Winkel [mm] \frac{l \cdot 2 \pi}{p} [/mm] analog.
Was sind aber nun mal erst die Untergruppen davon? Also so ganz hab ich die Diedergruppe noch nicht verstanden...
Freu mich über alle weiterbringende Hinweise.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei p eine Primzahl. Listen Sie alle Untergruppen der
> Diedergurppe [mm]D_{2p}[/mm] auf. Notieren Sie, welche zueinander
> konjugiert sind un welche Normalteiler sind. Im Falle eines
> Normalteilers geben Sie die Isomorphiklasse der
> Quotientengruppe an.
> Also laut Definition wie es in obigem Post steht, müsste
> ja dann gelten:
>
> [mm]D_{2p}[/mm] = [mm]\{ d_0,d_1,...,d_{p-1},s_0, s_1,...,s_{p-1} \}[/mm] mit
> [mm]d_l[/mm] Drehung um Winkel [mm]\frac{l \cdot 2 \pi}{p}[/mm] analog.
>
> Was sind aber nun mal erst die Untergruppen davon?
hier ist es sehr dankbar, dass $p$ eine primzahl ist. überlege dir, welche ordnungen die möglichen untergruppen von [mm] $D_{2p}$ [/mm] haben können (satz von lagrange). überlege dir weiter, welche ordnungen die elemente von [mm] $D_{2p}$ [/mm] haben. kannst du dann schon etwas darüber aussagen, wie die untergruppen aussehen müssen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Andreas,
danke für deine Hilfe. Also nach dem Satz von Lagrange müssen die Ordnung der Untergruppen ja ein Teiler der Ordnung von der "Ober-"Gruppe sein, d.h. 2 und p, wenn [mm] D_{2p} [/mm] die Ordnung 2p hat.
Wie kann ich herausfinden, was für Ordnungen die Elemente von [mm] D_{2p} [/mm] haben? Sind das also auch alles Gruppen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> danke für deine Hilfe. Also nach dem Satz von Lagrange
> müssen die Ordnung der Untergruppen ja ein Teiler der
> Ordnung von der "Ober-"Gruppe sein, d.h. 2 und p, wenn
> [mm]D_{2p}[/mm] die Ordnung 2p hat.
$1$ und $2p$ ist natürlich auch noch möglich, aber das sind keine so interessanten untergruppen.
> Wie kann ich herausfinden, was für Ordnungen die Elemente
> von [mm]D_{2p}[/mm] haben? Sind das also auch alles Gruppen?
lies dir am besten mal ![[]](/images/popup.gif) das durch. es gibt sowohl den ausdruck der ordnung einer gruppe als auch der ordnung eines elementes. um die elementenordnung zu bestimmen musst du dir nur überlegen, wie oft du ein element zu sich selber multiplizieren musst, damit du das neutrale element erhälst. wie sieht das im fall dieser diedergruppe aus?
EDIT: link korregiert
grüße
andreas
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